2019年全国高考理科数学（全国一卷）试题及答案[杨顺国]

2019年全国普通高等学校招生全国统一考试

（全国一卷）理科数学

一、选择题：（本题有12小题，每小题5分，共60分。） 1、设z=

，则∣z∣=（ ）

A.0 B. C.1 D. 2、已知集合A={x|x2-x-2>0}，则 A =（ ） A、{x|-1

C、{x|x<-1}∪{x|x>2} D、{x|x≤-1}∪{x|x ≥2}

3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是（ ）

A. 新农村建设后，种植收入减少

B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

4、记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3 = S2+ S4，a1 =2，则a5 =（ ） A、-12 B、-10 C、10 D、12

5、设函数f（x）=x3+（a-1）x2+ax .若f（x）为奇函数，则曲线y= f（x）在点（0，0）处的切线方程为（ ）

A.y= -2x

B.y= -x C.y=2x D.y=x

=（ ） 6、在?ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则

- B. - C. + D. + A.

7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（ ）

A. 2 B. 2 C. 3 D. 2

· =( ) 8.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（-2，0）且斜率为 的直线与C交于M，N两点，则

A.5 B.6 C.7 D.8 9.已知函数f（x）=( )

A. [-1，0） B. [0，+∞） C. [-1，+∞） D. [1，+∞）

10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC. △ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则( )

A. p1=p2 B. p1=p3 C. p2=p3 D. p1=p2+p3

11.已知双曲线C： - y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交

g（x）=f（x）+x+a，若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是

点分别为M，N. 若△OMN为直角三角形，则∣MN∣=( ) A. B.3 C.

D.4

12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为（ ） A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.若x，y满足约束条件

则z=3x+2y的最大值为 .

B.

C.

D.

14.记Sn为数列｛an｝的前n项和. 若Sn = 2an+1，则S6= .

15.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有 种.（用数字填写答案）

16.已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是 .

三.解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）

在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5. （1）求cos∠ADB； （2）若DC =

18.（12分）

如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把?DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF .

（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD； （2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.

，求BC.

19.（12分）

设椭圆C： + y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）.

（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； （2）设O为坐标原点，证明：∠OMA =∠OMB.

20、（12分）

某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件产品作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验，设每件产品为不合格品的概率都为P （0

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（P），求f（P）的最大值点（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的

。

作为P的值，已知

每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用。

（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX； （ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

21、（12分） 已知函数

.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）存在两个极值点x1 , x2 , 证明：

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，曲线C?的方程为y=k∣x∣+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C?的极坐标方程为 2 +2 cos -3=0.

（1） 求C?的直角坐标方程:

（2） 若C?与C?有且仅有三个公共点，求C?的方程.

.

23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知f（x）=∣x+1∣-∣ax-1∣.

（1） 当a=1时，求不等式f（x）﹥1的解集；

（2） 若x∈（0，1）时不等式f（x）﹥x成立，求a的取值范围.

绝密★启用前

2018年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题参考答案

一、选择题 1．C 7．B

二、填空题 13．6

三、解答题 17．解：

（1）在△ABD中，由正弦定理得由题设知，

BDAB. ?sin?Asin?ADB

2．B 8．D

3．A 9．C

4．B 10．A

5．D 11．B

6．A 12．A

14．?63 15．16 16．?33 2252. ?,所以sin?ADB?5sin45?sin?ADB

由题设知，?ADB?90?， 所以cos?ADB?1?223. ?255（2）由题设及（1）知，cos?BDC?sin?ADB?在△BCD中，由余弦定理得

BC2?BD2?DC2?2?BD?DC?cos?BDC?25?8?2?5?22??25.252. 5

所以BC?5. 18．解：

（1）由已知可得，BF?PF，BF?EF，所以BF?平面PEF. 又BF?平面ABFD，所以平面PEF?平面ABFD.

（2）作PH?EF，垂足为H. 由（1）得，PH?平面ABFD.

uuuruuur以H为坐标原点，HF的方向为y轴正方向，|BF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H?xyz. 由（1）可得，DE?PE. 又DP?2，DE?1，所以PE?3. 又PF?1，EF?2，故PE?PF. 可得PH?33，EH?. 22

则H(0,0,0)，P(0,0,uuuruuur33333), D(?1,?,0)，DP?(1,,)，HP?(0,0,)为平面ABFD的法向量.

222223uuuruuurHP?DP3设DP与平面ABFD所成角为?，则 sin??|uuu. ruuur|?4?43|HP||DP|所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为 19．解：

（1）由已知得F(1,0)，l的方程为x?1. 由已知可得，点A的坐标为(1,所以AM的方程为y??22). )或(1,?223. 4

22x?2或y?x?2. 22

（2）当l与x轴重合时，?OMA??OMB?0?.

当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以?OMA??OMB.

当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y?k(x?1)(k?0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1?2，x2?2，直线MA，MB的斜率之和为kMA?kMB?由y1?kx1?k，y2?kx2?k得

kMA?kMB?2kx1x2?3k(x1?x2)?4k.

(x1?2)(x2?2)y1y2. ?x1?2x2?2

x2将y?k(x?1)代入?y2?1得

2(2k2?1)x2?4k2x?2k2?2?0.

4k22k2?2所以，x1?x2?2. ,x1x2?22k?12k?14k3?4k?12k3?8k3?4k则2kx1x2?3k(x1?x2)?4k??0.

2k2?1从而kMA?kMB?0，故MA，MB的倾斜角互补. 所以?OMA??OMB. 综上，?OMA??OMB.

20．解：

218（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)?C220p(1?p). 因此 18217217 f?(p)?C220[2p(1?p)?18p(1?p)]?2C20p(1?p)(1?10p).

令f?(p)?0，得p?1当p?0.. 当p?(0,0.1)时，f?(p)?0；)1,10.(

（2）由（1）知，p?0.1.

时，f?(p)?0.所以f(p)的最大值点为p0?0.1.

（ⅰ）令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知YX?40?25Y.

B(180,0.1)，X?20?2?25Y，即

所以EX?E(40?25Y)?40?25EY?490.

（ⅱ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于EX?400，故应该对余下的产品作检验.

21．解：

1ax2?ax?1（1）f(x)的定义域为(0,??)，f?(x)??2?1???.

xxx2（ⅰ）若a≤2，则f?(x)≤0，当且仅当a?2，x?1时f?(x)?0，所以f(x)在(0,??)单调递减.

a?a2?4a?a2?4（ⅱ）若a?2，令f?(x)?0得，x?或x?.

22a?a2?4a?a2?4)U(,??)时，f?(x)?0； 当x?(0,22a?a2?4a?a2?4a?a2?4a?a2?4,)时，f?(x)?0. 所以f(x)在(0,)，(,??)单调递减，在当x?(2222a?a2?4a?a2?4(,)单调递增.

22

（2）由（1）知，f(x)存在两个极值点当且仅当a?2.

由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2?ax?1?0，所以x1x2?1，不妨设x1?x2，则x2?1. 由于 f(x1)?f(x2)lnx1?lnx2lnx1?lnx2?2lnx21， ???1?a??2?a??2?a1x1?x2x1x2x1?x2x1?x2?x2x2所以

f(x1)?f(x2)1?a?2等价于?x2?2lnx2?0.

x1?x2x2

设函数g(x)?所以 22．解：

1?x?2lnx，由（1）知，g(x)在(0,??)单调递减，又g(1)?0，从而当x?(1,??)时，g(x)?0. xf(x1)?f(x2)1?x2?2lnx2?0，即?a?2. x2x1?x2

（1）由x??cos?，y??sin?得C2的直角坐标方程为

(x?1)2?y2?4. （2）由（1）知C2是圆心为A(?1,0)，半径为2的圆.

由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线. 记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2. 由于

B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与

C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.

当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以|?k?2|4?2，故k??或k?0. 经检验，当

3k2?14k?0时，l1与C2没有公共点；当k??时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点.

3当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以时，l1与C2没有公共点；当k?4时，l2与C2没有公共点. 3|k?2|k2?1故k?0或k??2，

4. 经检验，当k?034综上，所求C1的方程为y??|x|?2.

3

23．解：

??2,?（1）当a?1时，f(x)?|x?1|?|x?1|，即f(x)??2x,?2,?x≤?1,?1?x?1, x≥1.1故不等式f(x)?1的解集为{x|x?}.

2

（2）当x?(0,1)时|x?1|?|ax?1|?x成立等价于当x?(0,1)时|ax?1|?1成立. 若a≤0，则当x?(0,1)时|ax?1|≥1； 若a?0，|ax?1|?1的解集为0?x?综上，a的取值范围为(0,2].

22，所以≥1，故0?a≤2. aa