4考研数学二详细解析-4
题
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2004年数学四试题分析、详解和评注
一、
填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线
上）
(1) 若?Skip Record If...?，则a =?Skip Record If...?，b =?Skip Record If...?. 【分析】本题属于已知极限求参数的反问题
.
【详解】因为?Skip Record If...?，且?Skip Record If...?，所以
?Skip Record If...?，得a = 1. 极限化为?Skip Record If...?，得b = 4. 因此，a = 1，b = 4.
【评注】一般地，已知?Skip Record If...?＝A ，
(1) 若g(x) (2) 若f (x)
0，则f (x)
0；
0.
0，且A 0，则g(x)
完全类似的例题见《数学复习指南》题、
第6题，《数学题型集粹与练习题集》第7题，
《考研数学大串讲》P12例17、19.
P36例1.60，P43第1(3)题，P44第2(10)
P19例1.34，《数学四临考演习》P79
(2) 设?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?. 【分析】本题为基础题型，先求导函数即可
.
【详解】因为?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，
所以，?Skip Record If...?.
【评注】本题属基本题型，主要考查复合函数求导
.
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类似例题在一般教科书上均可找到.
(3) 设?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?. 【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：奇偶函数
的积分性质即可.
【详解】令x 1 = t， ?Skip Record If...?
＝?Skip Record If...?.
【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解完全类似的例题见《数学复习指南》题，
P68第15题，《考研数学大串讲》P41例14.（4）
设?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，其中?Skip Record If...?为三阶可逆矩阵,
则
?Skip Record If...?
．
.
x 1 = t，再利用对称区间上
P96例4.17，《数学四临考演习》P61第2
?Skip Record If...?
【分析】将?Skip Record If...?的幂次转化为?Skip Record If...?的幂次, 并注意到?Skip Record If...?为对角矩阵即得答案. 【详解】因为
?Skip Record If...?
故
?Skip Record If...?,
?Skip Record If...??Skip Record If...?.
【评注】本题是对矩阵高次幂运算的考查．完全类似的例题可见《数学复习指南》
P.291例2.13.
, ?Skip Record If...?
.
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(5)设?Skip Record If...?是实正交矩阵，且?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，则线性方程组?Skip Record If...?的解是Record If...?．
?Skip Record If...??Skip
【分析】利用正交矩阵的性质即可得结果.
【详解】因为 ?Skip Record If...?, 而且?Skip Record If...?是实正交矩阵, 于是?Skip Record If...?, ?Skip Record If...?的每一个行(列)向量均为单位向量, 所以 ?Skip Record If...?.
【评注】本题主要考查正交矩阵的性质和矩阵的运算．类似的例题可见《考研数学大串讲》
(2002版, 世界图书出版公司) P.174例33.
(6) 设随机变量?Skip Record If...?服从参数为?Skip Record If...?的指数分布, 则?Skip Record If...? ?Skip Record If...?.
【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案
.
【详解】由于?Skip Record If...?, ?Skip Record If...?的分布函数为
?Skip Record If...?
故
?Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...?.
【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型.
二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7)函数?Skip Record If...?在下列哪个区间内有界. (A) (1 , 0). [ A ]
(B) (0 , 1).
(C) (1 , 2).
(D) (2 , 3).
【分析】如f (x)在(a , b)内连续，且极限?Skip Record If...?与?Skip Record If...?存在，则函数f (x)
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在(a , b)内有界.
【详解】当x 0 , 1 , 2时，f (x)连续，而?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，
?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，所以，函数f (x)在(1 , 0)内有界，故选(A).
【评注】一般地，如函数f (x)在闭区间[a , b]上连续，则f (x)在闭区间[a , b]上有界；
如函数f (x)在开区间(a , b)内连续，且极限?Skip Record If...?与?Skip Record If...?存在，则函数f (x) 在开区间(a , b)内有界.
完全类似的例题见《数学题型集粹与练习题集》习》P51 第15题. (8) 设f (x)在(
, +)内有定义，且?Skip Record If...?，
?Skip Record If...?，则
(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点. 断点.
(C) x = 0必是g(x)的连续点.
(D) g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关. [ D ]
【分析】考查极限?Skip Record If...?是否存在，如存在，是否等于过换元?Skip Record If...?，
可将极限?Skip Record If...?转化为?Skip Record If...?.
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P4例1.10，《数学四临考演
(B) x = 0必是g(x)的第二类间
g(0)即可，通
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