导数中的不等式证明
【考点点睛】
放缩法证明不等式在历年高考数学中是永恒的话题，但它常考常新，学生却常考常怕。不等式的应用体现了一定的综合性，灵活多样性，多出现在压轴题的位置。数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽象性和逻辑的严谨性，而不等关系是深刻体现数学的基本特点。即使如此，只要我们深入去探索，总有方法规律可循，总会有“拨得云开见日出”的时刻！ 放缩法的合理使用，往往能起到事半功倍的效果，有时能令人拍案叫绝；但其缺点也是显而易见，如果使用放缩法证题时没有注意放和缩的“度”，容易造成不能同向传递，即放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及，所以要熟练地驾驭它是件不容易的事。
命题角度1 构造函数 命题角度2 放缩法 命题角度3 切线法
命题角度4 二元或多元不等式的证明思路 命题角度5 函数凹凸性的应用
在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界.
命题角度3 切线法
【典例5】（2019届安徽省太和中学三模）已知函数f?x??e?x.
x2（1）求曲线f?x?在x?1处的切线方程；
ex??2?e?x?1?lnx?1. （2）求证：当x?0时，
x【解析】（1）f?x??e?x，f??x??e?2x，
x2x
由题设得f??1??e?2,f?1??e?1， ………﹝导数的几何意义的应用﹞ 所以曲线f?x?在x?1处的切线方程为y??e?2??x?1??e?1，即y??e?2?x?1； （2）令g?x??f??x?，则g??x??e?2，
x当x?ln2时，g??x??0，当x?ln2时，g??x??0，
所以函数g?x??f??x?在???,ln2?上单调递减，在?ln2,???上单调递增，
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g?x?min?g?ln2??f??ln2??2?2ln2?0，
所以函数f?x??ex?x2在?0,???上单调递增，
因为曲线f?x?在x?1处的切线方程为y??e?2?x?1，f?1??e?1，可猜测函数f?x?的图象恒在切线y??e?2?x?1的上方. ………﹝多步设问，层层递进，上问结果，用于下问﹞
先证明当x?0时，f?x???e?2?x?1.
设h?x??f?x???e?2?x?1?x?0?，则h??x??ex?2x??e?2?,h???x??ex?2， 当x?ln2时，h???x??0，当x?ln2时，h???x??0， 所以h??x?在?0,ln2?上单调递减，在?ln2,???上单调递增，
由h??0??3?e?0,h??1??0,0?ln2?1，所以h??ln2??0， 所以存有x0??0,ln2?，使得h??x0??0，
所以当x??0,x0?U?1,???时，h??x??0，当x??x0,1?时，h??x??0， 所以h?x?在?0,x0?上单调递增，在?x0,1?上单调递减，在?1,???上单调递增.
因为h?0??h?1??0，所以h?x??0，即f?x???e?2?x?1，当且仅当x?1时取等号，
所以当x?0时，e?x??e?2?x?1， ………﹝切线放缩法是一种崭新的放缩途径﹞
x2ex??2?e?x?1?x， 变形可得
x又因为x?lnx?1，当且仅当x?1时取等号（证明略），……﹝灵活借助于x?lnx?1放缩﹞
ex??2?e?x?1?lnx?1，当且仅当x?1时取等号. 所以
x【审题点津】切线放缩法值得认真探究，若第一小题是求曲线的切线方程，就要注意是否使用切线放缩法实行放缩解决问题.
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2019年高考秘籍-破解导数压轴题策略：3.导数不等式的证明-切线法
