数学模型第三版（高等教育出版社）课后习题答案 

数学模型第三版(高等教育出版社)课后习题答案

《数学模型》作业解答

第七章（2008年12月4日）

1． 对于7.1节蛛网模型讨论下列问题： （1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第k?1时段的价格y由第k?1和第k时段的数量x和x决

k?1k?1k定，如果仍设x仍只取决于y，给出稳定平衡的

k?1k条件，并与7.1节的结果进行比较.

（2）若除了y由x和x决定之外，x也由前

k?1k?1kk?1两个时段的价格y和y确定.试分析稳定平衡的

kk?1条件是否还会放宽.

解：（1）由题设条件可得需求函数、供应函数分别为：

x?xk??yk?1?f(k?1) ? 2?xk?1?h(yk)? 在P(x,y)点附近用直线来近似曲线f,h，得到

000x?xk??yk?1?y0???(k?1?x0),??0 ?(1) ? 2? ??0 ?(2)?xk?1?x0??(yk?y0) , 由（2）得 x（

1

）

k?2?x0??(yk?1?y0) ?(3)

代入（3）得

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xk?2?x0????(xk?1?xk?x0) 2? 2xk?2???xk?1???xk?2x0?2??x0

2?2对应齐次方程的特征方程为 ????????0

1,2 特征根为?????(??)2?8???4

当???8时，则有特征根在单位圆外，设???8，则 ? ??1,2?(??)2?8?????()??4242??2

1,2?1 ? ???2

207 即平衡稳定的条件为 ???2与P的结果一致. （2）此时需求函数、供应函数在P(x,y)处附近

000的直线近似表达式分别为：

xk?1?xk?y?y???(?x0),??0 ?(4)0?k?12 ? yk?yk?1?xk?1?x0??(?y0) , ??0 ?(5)2?由（5）得，2(x 2(xk?3?x0)?β(yk?2?y0?yk?1?y0) ?(6)

将（4）代入（6），得

xk?2?xk?1xk?1?xk???x)????(?x)??(?x)k?3000??22??

? 4xk?3???xk?2?2??xk?1???xk?4x0?4??x0

对应齐次方程的特征方程为

4??????2???????0 ?(7)

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??代数方程（7）无正实根，且???, ?αβ不是（7）, ?24的根.设（7）的三个非零根分别为?,?,?，则

123??????????23?14??????1?2??2?3??3?1?2?????1?2?3???4?

对（7）作变换：??????, 则 12 ?其中

3?p??q?0,

1?2?218?3?3?2?2p?(2???), q?(????)41241236用卡丹公式：

?q??1?3??2??q?3???w??22??q2??3?w3??2??,qpqqp()2?()3?3??()2?()323223qpqqp()2?()3?w23??()2?()323223qpqqp()2?()3?w3??()2?()323223

其中w??1?2i1233

123求出?,?,?，从而得到?,?,?，于是得到所有特征根??1的条件.

2．已知某商品在k时段的数量和价格分别为x和

kyk，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.

k设该商品的需求函数和供应函数分别为y和xk?1?f(xk)?g(yk?yk?1)2.试建立关于商品数量的差分方程

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模型，并讨论稳定平衡条件.

解：已知商品的需求函数和供应函数分别为

yk?f(xk)和xk?1?g(yk?yk?1)2.

000设曲线f和g相交于点P(x,y)，在点P附近可以

0用直线来近似表示曲线f和g：

yk?y0???(xk?x0),??0

----------------------（1）

xk?1?x0??(yk?yk?1?y0),??02--------------------（2）

从上述两式中消去y可得

k （3）

2xk?2???xk?1???xk?2(1???)x0,k?1,2,?， -----------

上述（3）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程.

为了寻求P点稳定平衡条件，我们考虑（3）

0对应的齐次差分方程的特征方程：

2?????????0

2容易算出其特征根为

?1,2????(??)2?8???4

---------------（4）

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