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南师附中物理竞赛讲义--10.6光学例题t

由天下分享时间：2025/1/7 14:46:12 加入收藏我要投稿点赞

10.6费马原理光学例题

费马原理：

光线在两点间的实际路径是使所需的传播时间为极值的路径。在大部分情况下，此极值为极小值。

xt??ti??i

vini?c vinixi c我们定义折射率与路径长的乘积为光程,用l表示,l?nx,于是,费马原理又可表述为:光线在两点之间的实际路径,是使光程为极值的路径.

例1、如图所示，湖中有一小岛A，A与直湖岸的距离

为d，湖岸边的一点B，B沿湖岸方向与A点的距离为l，一人自A点出发,要到达B点。已知他在水中游泳的B N 速度为v1，在岸上走的速度为v2，且v1

AN′

【解析】根据费马原理,若要人由A到B的时间最短,则所走路径应类似于光线所走路径. 这时的水和岸相当于介质,折射率分别为n1、n2.设最短时间为如图所示路径.则等效光线由水到岸满足下式:

可得:t??v1n2sinC ??ov2sin90n1sini?v1 v2这时的C实际上为光线发生全反射的临界角. 所以,我们不难得到:

当l?dtanC时,人所走的路径为如图所示的路径.即沿着和垂直于岸的方向成C的角度游向岸边再在岸上走至B点.

当l?dtanC时,人由A直接游到B点.

【点评】本题若从运动学角度分析,也可以作出解答,但比较麻烦.

例1. 一曲率半径R=60cm的凹面镜水平放置,使其凹面向上,并在其中装满水，水的折射率为n?4，假如装满水后水的的深度比半径R小得多，试问平行光束成像于何处? 3【解析】法一:直接用折射定律和反射定律来做,未装水时,平行光束经镜面反射后通过焦点F′,它离开镜面顶点的距离为30cm,若装有水,当α、β为小角度,由图可知:

F α β F′ a 图16- 1

tan??sin??a2a? fRa,由折射定律: ftan??sin??n?sin?R? sin?2ff?R?22.5cm 2n法二:用逐次成像法,物体先经过平面折射成像:

n1??0 s1's1再经球面反射成像:

112?? s2's2?R由于是水很浅,所以:

s2?s1'

令s1??可得:s2'??再经平面折射:

R 21n??0 s3's3s3?s2'

f'?s3'??R??22.5cmd 2n

26．如图所示，在焦距f=0.15m的凸透镜L主轴上有一小光源S，凸透镜L另一侧有两个反

射面相向放置的平面镜OM1和OM2．平面镜OM1和OM2彼此垂直，且与透镜L主轴成45，两平面镜的交线与透镜主轴垂直．已知小光源中心到两平面镜的交线距离SO=O.9m，透镜到两平面镜的交线距离O1O=O.3m，试求：

(1)小光源S在透镜主轴上共成多少个像? (2)小光源S在透镜主轴外共成多少个像? 分别指出像的虚实、位置及放大率．

由折射率为n=1.5的玻璃制成的对称的双凸透镜，在空气中焦距为30cm

（1）把它放在平面镜上形成一个折、反射系统，该系统的焦距为多少？

（2）在透镜和平面镜之间注满水，水的折射率为4/3，这个系统的折射率为多少？

(a)

(b)

【解析】(1)由于平面镜成像的对称性,从S发出的光线经透镜折射,再经平面镜反射,相当于从镜中对称的像点S′发出,经镜中透镜像折折射出的,最后再经透镜的折射成像.因此,它相当于两个相同的透镜组成的密接透镜组,如图所示.该透镜组的焦距为:

f?15cm 2(2)当在平面镜与透镜间加水后,相当于原透镜跟一个水透镜(平凹)密接,再经平面镜反射就相当于两个双凸透镜与一个双凹水透镜的密接.

在空气中的透镜焦距可按下式求得:

1f?

11(n?1)(?)r1r2f'?双凸透镜及水透镜的折射面曲率半径相同,但凸透镜和凹透镜半径的符号相反.设玻璃双凸透镜焦距为f1,水双凹透镜的焦距为f2 (均对周围介质为空气来说).则:

f1n?1 ??2f2n1?1式中n1、n2分别为玻璃和水的折射率. 密接透镜组等效焦距为f,则有:

1111??? ff1f2f1?n?11(2?2) f1n1?1将n1=1.5,n2=

4,f1=30cm代入得: 3f=22.5cm

【答案】15cm,22.5cm.

【总结】此题要用到透镜的焦距公式,密接透镜的有关知识.此题非常困难,困难的原因就在于学生对这一块内容不熟悉,平时在这方面的练习不够.

好象有点问题:中间的凹透镜的两个折射面的曲率均应为r2?,答案题目把一个面的曲率看成是一个是r1,另一个面的曲率看成是r2,好象是值得研究了.研究的思路是:用四次平面折射来看看.

例10、如图5所示，两个薄凸透镜L1、L2与一个平面镜及物屏共轴放在光具座上，每个凸透镜的两表面的曲率半径均为R，L1、L2的焦距分别为f1、f2，它们之间的距离用d表示，且L1更靠近物屏。物屏上开有一个箭形小孔，若左右移动物屏，同时改变d的大小，发现在物屏上可以多次得到倒立的清晰像，且左右移动平面镜对像无影响。问在物屏上能有几次得到这样的像，定量分析得到这些像的条件（在透镜面有部分光线发生反射，不考虑2次以上的反射成像）。

物屏上可以得到4个像。

1、凸透镜L1的后有面反射达到自准直成像，光路如图，设物屏到L1的距离为u1.

1/u1?1/R?1/f1

得 u1?Rf1/(R?f1)

此情况一定能通过移动物屏观察到像

2、L2前表面反射达到自准直成像，光路如图，设物屏到L1的距离为u2

1/u2?1/(d?R)?1/f1 u2?(d?R)f1/(d?R?f1)

此情况出现的条件为 d?f1?R

3、L2后表面反射达到自准直成像，光路如图，设对L2成像时的物距为u，物屏与L1

距离为u3，则

1/u?1/R?1/f2

1/u3?1/(d?u)?1/f1