∴EG∥平面BB1D1D.(3)由(1)知BF∥HD1，
∵BF?平面B1D1H，HD1?平面B1D1H，∴BF∥平面B1D1H，
又BD∥B1D1，同理可得BD∥平面B1D1H，又BD∩BF＝B，BD，BF?平面BDF，∴平面BDF∥平面B1D1H.
12.(2020·烟台模拟)如图，四边形ABCD为矩形，A，E，B，F四点共面，且△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，∠BAE＝∠AFB＝90°.
(1)求证：平面BCE∥平面ADF；
(2)若平面ABCD⊥平面AEBF，AF＝1，BC＝2，求三棱锥A－CEF的体积．(1)证明 ∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD，又BC?平面ADF，AD?平面ADF，∴BC∥平面ADF.
∵△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，且∠BAE＝∠AFB＝90°，∴∠BAF＝∠ABE＝45°，∴AF∥BE，
又BE?平面ADF，AF?平面ADF，∴BE∥平面ADF，∵BC∥平面ADF，BE∥平面ADF，BC∩BE＝B，∴平面BCE∥平面ADF.
(2)解 ∵四边形ABCD为矩形，∴BC⊥AB，又∵平面ABCD⊥平面AEBF，BC?平面ABCD，平面ABCD∩平面AEBF＝AB，∴BC⊥平面AEBF，
在等腰Rt△ABF中，∵AF＝1，∴AB＝2，∴AE＝AB＝2，
2111
∴S△AEF＝AF·AE·sin 135°＝×1×2×＝.
2222
1111
∴V三棱锥A－CEF＝V三棱锥C－AEF＝S△AEF·BC＝××2＝.3323
13.(2019·安阳模拟)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝1.一平面1
截该长方体，所得截面为OPQRST，其中O，P分别为AD，CD的中点，B1S＝，则AT＝
2________.
答案
25
解析 设AT＝x，则A1T＝1－x，
由面面平行的性质可知PO∥SR，TO∥QR，TS∥PQ，∴△DOP∽△B1RS，
1
∵DP＝OD＝1，∴B1S＝B1R＝，
23
∴A1S＝C1R＝，2由△ATO∽△C1QR，可得
AOAT＝C1RC1Q
，
313x2
即＝1 ，故C1Q＝，xCQ2由△A1TS∽△CQP，可得1－
CQCP＝A1TA1S ，
3x
221－x
即＝ ，解得x＝.3152
14.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M为棱AE的中点．
(1)求证：平面BDM∥平面EFC；
(2)若AB＝1，BF＝2，求三棱锥A－CEF的体积．(1)证明 如图，设AC与BD交于点N，
则N为AC的中点，连接MN，又M为棱AE的中点，∴MN∥EC.∵MN?平面EFC，EC?平面EFC，∴MN∥平面EFC.
∵BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且BF＝DE，∴BF∥DE且BF＝DE，∴四边形BDEF为平行四边形，∴BD∥EF.
∵BD?平面EFC，EF?平面EFC，∴BD∥平面EFC.又MN∩BD＝N，MN，BD?平面BDM，∴平面BDM∥平面EFC.(2)解 连接EN，FN.
在正方形ABCD中，AC⊥BD，又BF⊥平面ABCD，∴BF⊥AC.又BF∩BD＝B，BF，BD?平面BDEF，∴AC⊥平面BDEF，又N是AC的中点，∴V三棱锥A－NEF＝V三棱锥C－NEF，
21112
∴V三棱锥A－CEF＝2V三棱锥A－NEF＝2××AN×S△NEF＝2××××2×2＝，
332232
∴三棱锥A－CEF的体积为.
3
15.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1，点P为线段A1C上的动点(包含线段端点)，则下列结论错误的是( )
→→
A．当A1C＝3A1P时，D1P∥平面BDC1
9
B．当P为A1C中点时，四棱锥P－AA1D1D的外接球表面为π
4C．AP＋PD1的最小值为6D．当A1P＝答案 C
解析 对于A，连接AB1，AD1，
33
时，A1P⊥平面D1AP
31111
则VA－A1B1D1＝××1＝，S?AB1D1＝×2×2×sin 60°＝，A1C＝3，
23262311
设A1到平面AB1D1的距离为h，则××h＝，
326解得h＝
33
，∴h＝A1C.
3
1
→→
∴当A1C＝3A1P时，P为A1C与平面AB1D1的交点．
∵平面AB1D1∥平面BDC1，D1P?平面AB1D1，∴D1P∥平面BDC1，故A正确．又由以上分析可得，当A1P＝以D正确．
对于B，当P为A1C中点时，四棱锥P－AA1D1D为正四棱锥，设平面AA1D1D的中心为O，四棱锥P－AA1D1D的外接球半径为R，所以
33
时，A1P即为三棱锥A1－D1AP的高，∴A1P⊥平面D1AP，所
()()12－R2＋
22
2＝R2，解得
3
R＝，
4
9
故四棱锥P－AA1D1D的外接球表面积为π，所以B正确．
4对于C，连接AC，D1C，则Rt△A1AC≌Rt△A1D1C，
∴AP＝D1P，
6AA1·AC1×2由等面积法得AP的最小值为1＝＝，3AC326∴AP＋PD1的最小值为，所以C不正确．
3故选C.
16.(2019·湖北省宜昌市宜都二中、东湖高中联考)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝
22
，现有如下四个结论：
①AC⊥BE；②EF∥平面ABCD；
③三棱锥A－BEF的体积为定值；④异面直线AE，BF所成的角为定值．其中正确结论的序号是________．答案 ①②③
解析 对于①，由AC⊥BD，AC⊥BB1，BD∩BB1＝B，可得AC⊥平面DD1B1B，又BE?平面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，此命题正确；对于②，由正方体ABCD－A1B1C1D1的两个底面平行，EF在平面A1B1C1D1内，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，此命题正确；对于③，EF为定值，B到EF距离为定值，所以三角形BEF的面积是定值，又因为A点到平面DD1B1B距离是定值，故可得三棱锥A－BEF的体积为定值，此命题正确；对于④，由题干图知，当F与B1重合时，此时E与上底面中心为O重合，则两异面直线所成的角是∠A1AO，tan∠A1AO＝
A1O
2＝，当E与D1重合时，此时点F与O重合，则两异面直AA12
22，OB＝
62
，由余弦定理得，cos∠OBC1＝
32，线所成的角是∠OBC1，BC1＝2，OC1＝
∴∠OBC1＝30°，所以这两个角不相等，故异面直线AE，BF所成的角不为定值，此命题错误．综上知①②③正确．
2021新高考版大一轮复习用书数学第七章 7.3
