2．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面答案 D
解析 A项，α，β可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m?α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．
3．(2019·合肥质检)已知a，b，c 为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A．若a∥b，b?α，则a∥αB．若a?α，b?β，a∥b，则α∥βC．若α∥β，a∥α，则a∥β
D．若α∩β＝a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，a∥b，则b∥c答案 D
解析 若a∥b，b?α，则a∥α或a?α，故A不正确；若a?α，b?β，a∥b，则α∥β或α与β相交，故B不正确；若α∥β，a∥α，则a∥β或a?β，故C不正确；如图，由a∥b可得b∥α，又b?γ，α∩γ＝c，所以b∥c，故D正确．
4．(2020·济南模拟)如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是( )
A．异面C．相交答案 B
B．平行
D．以上均有可能
解析 在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1.∵AB?平面ABC，A1B1?平面ABC，
∴A1B1∥平面ABC.
∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE，∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.
5.(2019·福州检测)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G，P，Q分别为棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C的中点．则下列叙述中正确的是( )
A．直线BQ∥平面EFGC．平面APC∥平面EFG答案 B
B．直线A1B∥平面EFGD．平面A1BQ∥平面EFG
解析 过点E，F，G的截面如图所示(H，I分别为AA1，BC的中点)，
∵A1B∥HE，A1B?平面EFG，HE?平面EFG，∴A1B∥平面EFG.故选B.
6．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )
答案 A
解析 A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB.
∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交，∴直线AB与平面MNQ相交；
B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ，
又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；
C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ，
又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ，
又AB?平面MNQ，NQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.故选A.
7．(多选)下列四个命题中正确的是( )
A．如果一条直线不在某个平面内，那么这条直线就与这个平面平行B．过直线外一点有无数个平面与这条直线平行C．过平面外一点有无数条直线与这个平面平行D．过空间一点必存在某个平面与两条异面直线都平行答案 BC
解析 A．如果一条直线不在某个平面内，那么这条直线就与这个平面平行或相交，故A错误；
B．过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，过这条直线有无数个平面与已知直线平行，故B正确；
C．过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，且这无数条直线在同一平面内，故C正确；D．过空间一点不一定存在某个平面与两条异面直线都平行，当此点在其中一条直线上时平
面最多只能与另一条平行，故D错误．故选BC.
8．(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，下列四个推断中正确的是( )
A．FG∥平面AA1D1D C．FG∥平面BC1D1 答案 AC
B．EF∥平面BC1D1
D．平面EFG∥平面BC1D1
解析 ∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，∴FG∥BC1，∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，∵FG?平面AA1D1D，AD1?平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故A正确；∵EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，∴EF与平面BC1D1相交，故B错误；∵E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，∴FG∥BC1，∵FG?平面BC1D1，BC1?平面BC1D1，∴FG∥平面BC1D1，故C正确；∵EF与平面BC1D1相交，
∴平面EFG与平面BC1D1相交，故D错误．故选AC.
9．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________．答案
92
解析 由面面平行的性质知截面与面AB1的交线MN是△AA1B的中位线，所以截面是梯形12CD1MN，其面积为×(2＋22)×?5?2－
22
()2＝
92
.
10.如图所示，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件______
时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)
答案 点M在线段FH上(或点M与点H重合)解析 连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN?平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.
11.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点．求证：
(1)BF∥HD1；(2)EG∥平面BB1D1D；(3)平面BDF∥平面B1D1H.
证明 (1)如图所示，取BB1的中点M，连接MH，MC1，
易证四边形HMC1D1是平行四边形，∴HD1∥MC1.又易证得MC1∥BF，∴BF∥HD1.(2)取BD的中点O，连接EO，D1O，1
则OE∥DC，且OE＝DC，
2
1
又D1G∥DC且D1G＝DC，∴OE∥D1G且OE＝D1G，
2∴四边形OEGD1是平行四边形，∴GE∥D1O.又GE?平面BB1D1D，D1O?平面BB1D1D，
2021新高考版大一轮复习用书数学第七章 7.3
