在Rt△PAD中，PA＝AD＝1，∴DP＝2，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又CD⊥AD且PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，
22∴S△PCD＝××1＝，连接EP，EC，
22
1
∵VE－PDC＝VC－PDE，
设E到平面PCD的距离为h，21111
则×h×＝×1×××1，
23322∴h＝
24
，∴F到平面PDC的距离为
24. 平面与平面平行的判定与性质
例3 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明 (1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC.
∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.
又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1∥AB且A1B1＝AB，∴A1G∥EB，A1G＝EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，
∴A1E∥GB.
又∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.
又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF?平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.
在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为
“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1”，试求解 连接A1B，AB1，交于点O，连接OD1.
的值．DCAD
由平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，所以BC1∥D1O，则同理，AD1∥C1D，又AD∥C1D1，
所以四边形ADC1D1是平行四边形，所以AD＝D1C1，又AC＝A1C1，所以
DCDCAD＝，所以＝1，即＝1.D1C1ADADDCA1D1
＝＝1.
D1C1OBA1D1
A1O
思维升华 证明面面平行的方法(1)面面平行的定义．(2)面面平行的判定定理．
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．
(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．
跟踪训练2 (2019·南昌模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1.设M，N分别为PD，AD的中点．
(1)求证：平面CMN∥平面PAB；(2)求三棱锥P－ABM的体积．
(1)证明 ∵M，N分别为PD，AD的中点，∴MN∥PA，又MN?平面PAB，PA?平面PAB，∴MN∥平面PAB.
在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，∴∠ACN＝60°.
又∠BAC＝60°，∴CN∥AB.
∵CN?平面PAB，AB?平面PAB，∴CN∥平面PAB.又CN∩MN＝N，CN，MN?平面CMN，∴平面CMN∥平面PAB.
(2)解 由(1)知，平面CMN∥平面PAB，
∴点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离．∵AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴BC＝3，
311
∴三棱锥P－ABM的体积V＝VM－PAB＝VC－PAB＝VP－ABC＝××1×3×2＝.
332
平行关系的综合应用
例4 如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．
(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；
(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．(1)证明 ∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.
∵HG?平面ABD，EF?平面ABD，∴EF∥平面ABD.
又∵EF?平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，∴EF∥AB，又∵AB?平面EFGH，EF?平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH.同理可证，CD∥平面EFGH.(2)解 设EF＝x(0 ∵EF∥AB，FG∥CD，∴＝， CB4则FG6＝＝BCBF BC－CFx3 ＝1－，∴FG＝6－x.BC42 ∵四边形EFGH为平行四边形， 3 ∴四边形EFGH的周长l＝2x＋6－x＝12－x. 2 ()又∵0 即四边形EFGH周长的取值范围是(8,12)． 思维升华 利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决． 跟踪训练3 如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，点C∈α，点B∈β，点D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD. (1)求证：EF∥平面β； (2)若E，F分别是AB，CD的中点，AC＝4，BD＝6，且AC，BD所成的角为60°，求EF的长． (1)证明 ①当AB，CD在同一平面内时，由平面α∥平面β，平面α∩平面ABDC＝AC，平面β∩平面ABDC＝BD，知AC∥BD.∵AE∶EB＝CF∶FD，∴EF∥BD.又EF?β，BD?β，∴EF∥平面β. ②当AB与CD异面时，如图所示，设平面ACD∩平面β＝DH，且线段DH＝AC. ∵平面α∥平面β，平面α∩平面ACDH＝AC，∴AC∥DH，∴四边形ACDH是平行四边形． 在AH上取一点G，使AG∶GH＝CF∶FD，连接EG，FG，BH，则AE∶EB＝CF∶FD＝AG∶GH. ∴GF∥HD，EG∥BH. 又EG，GF?平面β，BH，HD?平面β，∴EG∥平面β，GF∥平面β， 又EG∩GF＝G，EG，GF?平面EFG，∴平面EFG∥平面β. 又EF?平面EFG，∴EF∥平面β. (2)解 如图所示，连接AD，取AD的中点M，连接ME，MF. ∵E，F分别为AB，CD的中点，∴ME∥BD，MF∥AC，11 且ME＝BD＝3，MF＝AC＝2. 22 ∴∠EMF或其补角为AC与BD所成的角，∴∠EMF＝60°或120°.∴在△EFM中，由余弦定理得EF＝ME2＋MF2－2ME·MF·cos∠EMF1 ＝32＋22±2×3×2×＝13±6， 2即EF＝7或EF＝19. 1．下列命题中正确的是( ) A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行 D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b?α，则b∥α答案 D 解析 A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线也可能异面；C中，两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知b∥α，正确．
2021新高考版大一轮复习用书数学第七章 7.3
