§7.3 直线、平面平行的判定与性质
1．线面平行的判定定理和性质定理
文字语言
平面外一条直线与此平面内的
判定定理
一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行?线面平行”)
一条直线与一个平面平行，则
性质定理
过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行?线线平行”)
Error!?l∥bError!?l∥α
图形语言
符号语言
2．面面平行的判定定理和性质定理
文字语言一个平面内的两条相交直线与另一个平面
判定定理
平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行?面面平行”)如果两个平行平面同
性质定理
时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
Error!?a∥bError!?α∥β
图形语言
符号语言
概念方法微思考
1．一条直线与一个平面平行，那么它与平面内的所有直线都平行吗？
提示 不都平行．该平面内的直线有两类，一类与该直线平行，一类与该直线异面．2．一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行，那么这两个平面平行吗？
提示 平行．可以转化为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行”，这就是面面平行的判定定理．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．( × )(2)平行于同一条直线的两个平面平行．( × )
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( × )(4)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.( × )题组二 教材改编
2．平面α∥平面β的一个充分条件是( )A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a?α，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α答案 D
解析 若α∩β＝l，a∥l，a?α，a?β，则a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a?α，a∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a?α，a∥l，b?β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.故选D.3.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________．
答案 平行
解析 连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，
在△BDD1中，E为DD1的中点，O为BD的中点，所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，而BD1?平面ACE，EO?平面ACE，所以BD1∥平面ACE.
题组三 易错自纠
4．设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是( )A．m∥l1且n∥l2 C．m∥β且n∥β 答案 A
解析 对于A，由m∥l1，m?α，l1?α，得l1∥α，同理l2∥α，又l1，l2相交，l1，l2?β，所以α∥β，反之不成立，所以m∥l1且n∥l2是α∥β的一个充分不必要条件．
5．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中( )A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一一条与a平行的直线答案 A
解析 当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.6．设α，β，γ为三个不同的平面，a，b为直线，给出下列条件：①a?α，b?β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b.
其中能推出α∥β的条件是______．(填上所有正确的序号)答案 ②④
解析 在条件①或条件③中，α∥β或α与β相交；由α∥γ，β∥γ?α∥β，条件②满足；
在④中，a⊥α，a∥b?b⊥α，又b⊥β，从而α∥β，④满足.
B．m∥β且n∥l2D．m∥β且l1∥α
直线与平面平行的判定与性质
命题点1 直线与平面平行的判定
例1 (2019·四川省名校联盟模拟)如图，四边形ABCD为矩形，ED⊥平面ABCD，AF∥ED.求证：BF∥平面CDE.
证明 方法一 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∵AB?平面CDE，CD?平面CDE，∴AB∥平面CDE；又AF∥ED，∵AF?平面CDE，ED?平面CDE，∴AF∥平面CDE；
∵AF∩AB＝A，AB?平面ABF，AF?平面ABF，∴平面ABF∥平面CDE，
又BF?平面ABF，∴BF∥平面CDE.
方法二 如图，在ED上取点N，使DN＝AF，连接NC，NF，
∵AF∥DN，且AF＝DN，∴四边形ADNF为平行四边形，∴AD∥FN，且AD＝FN，
又四边形ABCD为矩形，AD∥BC且AD＝BC，∴FN∥BC，且FN＝BC，∴四边形BCNF为平行四边形，
∴BF∥NC，∵BF?平面CDE，NC?平面CDE，∴BF∥平面CDE.
命题点2 直线与平面平行的性质
例2 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面PAHG交平面BMD于GH.求证：PA∥GH.
证明 如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，
因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是AC的中点，
又M是PC的中点，所以AP∥OM.
又MO?平面BMD，PA?平面BMD，所以PA∥平面BMD.
又因为平面PAHG∩平面BMD＝GH，且PA?平面PAHG，所以PA∥GH.思维升华 判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)．
(2)利用线面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)．(3)利用面面平行的性质(α∥β，a?α?a∥β)．(4)利用面面平行的性质(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．
跟踪训练1 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，PA＝AB＝1.
(1)证明：EF∥平面PDC；(2)求点F到平面PDC的距离．
(1)证明 取PC的中点M，连接DM，MF，
∵M，F分别是PC，PB的中点，1
∴MF∥CB，MF＝CB，
2
∵E为DA的中点，四边形ABCD为正方形，1
∴DE∥CB，DE＝CB，
2
∴MF∥DE，MF＝DE，∴四边形DEFM为平行四边形，∴EF∥DM，
∵EF?平面PDC，DM?平面PDC，∴EF∥平面PDC.
(2)解 ∵EF∥平面PDC，∴点F到平面PDC的距离等于点E到平面PDC的距离．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DA，
2021新高考版大一轮复习用书数学第七章 7.3
