2020年中考数学专题复习和训练:
新定义题型例谈
班级： 姓名： 编制：赵化中学 郑宗平
专题透析：
“新定义”题型主要是指题型中嵌入了新概念、新符号、新运算等，要求结合书本知识，根据“定义”的规则加以运算、推理等以求问题得以解决；这类题在新课改、新课标下的各类数学测试中经常出现，也是近年来中考的热点题型，填空、选择和解答题均有涉及；“新定义”题型注意两点：其一.读懂“定义规则”，找准切入点；其二.经过运算、推理进行迁移解决问题
典例精析：
例1.我们把分子为1的分数叫做理想分数，如1,1,1234,L任何一个理想分数都可以写成两个不同理想分数的和，如11111111112=3+6;3=4+12;4=5+20;9=??L；根据对上述式子的观察思
考：如果理想分数1n?1a?1b（n是不小于2的正整数），那么a?b= (用含n的式
子表示). 分析：∵111112=3+6,3=4+112,14=15+120,L ∴19写成两个不同理想分数的和110?190 （注：实际上是11m?m?1?1m?m?1?） ∵在11121112?3?6中有?2?1??3?6，在中3?4?12有?3?1?2?4?12，…… ∴如果理想分数1n?1a?1b（n是不小于2的正整数），那么a?b??n?1?2. 故分别应填：110?190和 ?n?1?2. 点评： 本题可以视为“规律性的题型中的定义”，主要是根据定义（本题是“理想分数”）计算推理发现规律，从实例规律迁移解决问题.
追踪练习：
1.我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1,3,9,19,33,… 就是一个数列；如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，
赵中2020中考数学专题复习和训练 第 1页（共 16页）
这个常数叫做这个等差数列的公差．如2,4,6,8,10就是一个等差数列，它的公差为2；如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列．例如数列1,3,9,19,33, …，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2,6,10,14,…，这是一个公差为4的等差数列，所以，数列1,3,9,19,33,，…是一个二阶等差数列；那么，请问二阶等差数列1,3,7,13,，… 的第五个数应是 ___ ．
2.若x是不等于1的实数，我们把
11?x称为x 的差倒数，如2的差倒数是11?2??1，?1的差倒数为11???1??12，现已知x11??3，x2是x1的差倒数，x3是x2的差倒数，x4是x3的差
倒数，…，依次类推，则 x2020= . 例2.我们把
abcd 称作二阶行列式，规定它的运算法则为
abcd?ad?bc，比如：
23?x45?2?5?3?4??2，如果有
231x?0，则x的取值范围为 . 分析：
根据二阶行列式规定的运算法则可知：2x??3?x??1?0 ，解得：x?1；∴故应填：x?1. 点评：
本题可以视为“运算建模题型中定义”，主要是根据定义所规定的运算法则进行运算推理来解决问题；这类题可以串联起数学的多个知识点，是中考中出现频率比较高的一种题型. 追踪练习：
1.对于点?x,y?的一次操作变换p1?x,y???x?y,x?y?，且规定pn?x,y??P1?Pn?1?x,y??（n为大于1的整数）；如p1?1,2???3,?1?，p2?1,2??1?P1?1,2???P1(3.?1)??2,4?，p3?1,2?? P1(p?2(1,2))?p?2(2,4)?(6,?2)，则p?2019(1,?1)= （ ）
A.0,?21009 B.0,?21010? C.?0,21009? D.?0，21010? 2.对于正数x，如果规定f?x??1?1?x，例如：f?4??11?4?15，f?1?14?4????;根据上面的1?154规定计算f?2019??f?2018??L?f?2??f?1??f??1??1??1??2???L?f??2018???f??2019??的值为 ，
f?2020??f?2019??L?f?2??f?1??f??1??2???L?f??1??1??2019???f??2020??的值为 . 3.根据例2规定的“二阶行列式运算法则”，计算填空：
⑴.?22sin60o1?3 = ； ⑵.
x?3x?2x?2x?4x?3= ；⑶.
2xx?2x?6，则x= .
第 2页 （共 16页） 4.若定义?a,b?☆?m,n??am?bn ，则
?8,?27????1???2,3??= . ??5.对于两个不相等的实数a,b，定义一种新的运算如下，ab?a?ba?b?a?b?0?，如： 32?3?23?2?5，求6?54? 的值.
6.我们定义
abcd?ad?bc，比如：?1236???1??6?2?3??6?6??12；若x,y均为整数，且满足1?1xy5?3 ，求x?2y的值.
例3.如果一条抛物线y?ax2?bx?c?a?0?与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． ⑴.“抛物线三角形”一定是 ______ 三角形； ⑵.若抛物线y??x2?bx?b?0?的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值； ⑶.如图，⊿OAB是抛物线y??x2?b'x?b'?0?的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由． 分析： ⑴问抓住抛物线的轴对称性，抛物线的顶点在抛物线与x轴交点线段的垂直平分线上，根据垂直平分线的性质可以得出“抛物线三角形”是等腰三角形； ⑵.等腰直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，这个命题的逆命题也是一个真命题，以此切入可以解决问题；同时由于抛物线y??x2?bx?b?0?过原点，所以在第一象限内还可以推出顶点的的横纵坐标相等，以此建立方程也可以解决问题；殊途同归！ ⑶.由于矩形的对角线相等且互相平分，逆命题也是一个真命题；所以当“抛物线三角形”是等边三角形时，按题中条件中建立的可以四边形ABCD是矩形；通过等边⊿OAB来列等量关系可求出b的值，进而确定A,B的坐标，利用中心对称性可以确定C,D的坐标，利用待定系数法可以求出过O、C、D三点的抛物线的表达式. 略解： ⑴.填：等腰； ⑵.抛物线y??x2?bx?b?0?的顶点M 的坐标坐标为??b,b2??24? ，由于抛物线过坐标原点，?赵中2020中考数学专题复习和训练 第 3页（共 16页）
当其“抛物线三角形”是等腰直角三角形时，过点M作MG?ON, yM ,则有OG?MG,即bb2垂足为G2?4?b?0? 解得：b?2. OGNx注，本问也可以MG?12ON建立方程解决问题。 ⑶.存在.如图作⊿OCD与⊿OAB关于坐标原点成中心对称，则四边形ABCD是平行四边形；当AO?OB时，AC?BD ;此时平行四边形ABCD是矩形. 又AO?AB ∴⊿OAB数是等边三角形 ∴?AOB?60o 作AE?OB,垂足为E
在Rt⊿OEA中，tan?AOE?AEOE ,则AE?OEtan?AOB?3OE 抛物线y??x2?b'x?b'?0?顶点的坐标的可知：b'2?3?b'?42?b'?0? .解得：b'?23 ∴A3,3?,B?23,0? yA∴C??3,?3?,D??23,0? 设过O、C、D三点的抛物线为y?mx2?nx。则： D?x??12m?23n?0??m?OEB3m??3 解得：??1 ?3m???n?23故所求抛物线的表达式为y?x2?23x C点评： 本题可以视为“探索题型中的新定义”，主要是根据定义计算推理论证，这类题一般要在定义的前提下进行匪类讨论，往往和存在性问题交融在一起.
追踪练习：
1.若平面直角坐标系中，两点关于过原点的一条直线成轴对称，则这两点就是互为镜面点， 这条直线叫镜面直线，如A?2,3?）和B?3,2?是以y?x为镜面直线的镜面点． ⑴.若M?4,1?和N??1,?4?是一对镜面点，则镜面直线为 . ⑵.若以y?3x为镜面直线，则E??2,0?的镜面点为 ．
2.如图，A,B是⊙O上的两个顶点，P是⊙O上的动点（P不与A,B重合），我们称?APB是
第 4页 （共 16页）
⊙O上关于点A,B的滑动角. P⑴.已知?APB是⊙O上关于点A,B的滑动角. ①.若AB是⊙O的直径，则?APB = ; OB②.若⊙O的半径为1，AB?2 ,求?APB的度数； A⑵.已知O2是⊙O1外一点，以O2为圆心作一个圆与⊙O1相交于A,B两点；?APB是⊙O1上关于点A,B的滑动角，直线PA,PB交⊙O2于M,N（点M与点A,点N与点B不重合），连接AN;试探索?APB与?MAN、?ANB之间的数量关系. 3.定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点．如图1，PH?PJ,PG?PI，则点P就是四边形ABCD A的准内点．
JEA GDJ BG PIHP B HCFCID图1图2图3图4⑴.如图2,?AFD与?DEC的角平分线相交于点P．求证：点P是四边形ABCD的准内点． ⑵.分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点．（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）
⑶.判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”． ①任意凸四边形一定存在准内点．（ ） ②任意凸四边形一定只有一个准内点．（ ）
③若点P是四边形ABCD的准内点，则PA?PB?PC?PD或PA?PC?PB?PD（ ）.
例4. 对于实数a、b，定义运算某“*”：a*b????a2?ab?a?b?.例如4*2，因为4?2，
??ab?b2?a?b?所以4*2?42?4?2?8.若x1、x2是一元二次方程x2?5x?6?0的两个根，则
x1*x2= . 分析：
∵x1、x2是一元二次方程x2?5x?6?0的两个根 ∴?x?2??x?3??0 解得：x?3 或x?2
①.当x1?3,x2?2 时，x1*x2=32?2?3?3； ②.当x1?2,x2?3 时，x1*x2=2?3?32??3. 故应填：3或?3.
赵中2020中考数学专题复习和训练 第 5页（共 16页）
点评： 本题可以视为“开放题型中的新定义”，本题的结论是开放的，常常要根据条件分类讨论，结合对应的定义法则进行运算推理（实际上是同一名称多种形式），这类题容易漏解. 追踪练习：
?1. 对实数a☆b???ab?a?b,a?0??a?b,a?0? ；比如2☆3?2?3?1，计算[2☆??4?]×
??a?b8[??4?☆??2?]= .
2.在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1?x1,y1?和P2?x2,y2?的“非常距离”，给出以下概念： 若x1?x2?y1?y2 ，则点P1和点P2的“非常距离”距离为x1?x2；.
若x1?x2?y1?y2 ，则点P1和点P2的“非常距离”距离为y1?y2.
例如：点P1?1,2?和P2?3,5?。因为1?3?2?5，点P1和P2的“非常距离”距离为2?5?3.
也就是图1中线段P1Q 与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q交点）.
⑴.已知点A???1?2,0??? ,B为y轴上的一动点. ①.若点A和点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件点B的坐标； ②.直接写出点A和点B的“非常距离”的最小值.
⑵.已知C是直线
y?34x?3的一个动点. ①.如图2，点D的坐标是?0,1?，求点C和点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标； ②.如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C和点E的“非常距离”的最小值及相应的点E与点C的坐标 . y 5P2
yy 3y=3x+
y=4x+343
2P1Q D O13xO1xO1x 图1图2图3
第 6页 （共 16页）
2020年中考数学专题复习和训练：新定义题型例谈
