专训2 垂径定理的四种应用技巧
名师点金：
垂径定理的巧用主要体现在求点的坐标、解决最值问题、解决实际问题等．解题时，巧用弦的一半、圆的半径和圆心到弦的垂线段三条线段组成的直角三角形，然后借助勾股定理，在这三个量中知道任意两个，可求出第三个．
巧用垂径定理求点的坐标
1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(10，0)，点B的坐标是(8，0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上， 且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标．
(第1题)
巧用垂径定理解决最值问题(对称思想)
2．如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为直线EF上的任意一点，求PA＋PC的最小值．
(第2题)
巧用垂径定理计算
3．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E，BC＝23.求：
(1)AB的长； (2)⊙O的半径．
(第3题)
巧用垂径定理解决实际问题(建模思想)
4．某地有一座拱桥，它的桥拱是圆弧形，桥下的水面宽度为7.2
m，拱顶高出水面2.4
m，船舱顶部为长方形并高出水面2 m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？
答案
1．解：如图，连接CM，作MN⊥CD于N，CH⊥OA于H. ∵四边形OCDB为平行四边形，B点的坐标是(8，0)， ∴CD＝OB＝8，CN＝MH，CH＝MN. 又∵MN⊥CD， ∴CN＝DN＝1
2
CD＝4.
m，现有一艘宽3
易知OA＝10，∴MO＝MC＝5.
在Rt△MNC中，MN＝CM2－CN2＝52－42＝3. ∴CH＝3.又OH＝OM－MH＝5－4＝1. ∴点C的坐标为(1，3)．
(第1题)
2．
解
：
如图，易知点C关于直线MN的对称点为点D，连接AD，交MN于点P，连接PC，易知此时PA＋PC最小且PA＋PC＝AD.过点D作DH⊥AB于点H，连接OA，OC.易知AE＝4，CF＝3，由勾股定理易得OE＝3，OF＝4，∴DH＝EF＝7，又AH＝AE＋EH＝4＋3＝7.∴AD＝72.即PA＋PC的最小值为72.
(第2题)
点拨：本题运用了转化思想，将分散的线段转化为一条线段，然后运用勾股定理求出线段的长度． 3．解：(1)连接AC，
∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB， ∴AF＝BF.
∴AC＝BC.延长AE交⊙O于G， 则AG为⊙O的直径， 又AO⊥BC， ∴BE＝CE. ∴AC＝AB. ∴AB＝BC＝23. (2)由(1)知AB＝BC＝AC， ∴△ABC为等边三角形． ∴∠BAC＝60°. ∵AE⊥BC，
1
∴∠EAB＝∠CAE＝∠CAB＝30°.
2即∠OAF＝30°，
在Rt△OAF中，AF＝3，
九年级数学下册北师大版专训：第三章专训2垂径定理的四种应用技巧
