非线性偏微分方程 偏微分方程数值方法

非线性偏微分方程 偏微分方程数值方法

非线性偏微分方程 偏微分方程数值方 法

非线性偏微分方程定义:各阶微分项有次数高于一的，该微分方程即为非线性微分方程

(一)主要研究内容

非线性偏微分方程是现代数学的一个重要分支，无论在理论中还是在实际应用中，非线性偏微分方程均被用来描述力学、控制过程、生态与经济系统、化工循环系统及流行病学等领域的问题。利用非线性偏微分方程描述上述问题充分考虑到空间、时间、时滞的影响，因而更能准确的反映实际。本方向主要研究非线性偏微分方程、H-半变分不等式、最优控制系统的微分方程理论及其在电力系统的应用。

1.非线性偏微分方程的研究:我们主要研究偏微分方程解的存在唯一性(和多解性)及稳定性;偏微分方程的初值问题、初边值问题的整体解(包括周期解和概周期解)的存在性及渐近性;平衡解的存在性，尤其是当问题依赖于某些参数时平衡解的分叉结构，以及平衡解的稳定性问题;非线性方程的数值解。

2.H-半变分不等式的研究:建立具有极大单调算子扰动的多值(S)型和伪单调型映象的广义度理论，广义不动点指标理论和具有非凸、不可微泛函的非线性发展型H-半变分不等式理论，由此来研究含间断项的非线性偏微分方程。

3.最优控制系统的微分方程理论及其在电力系统的应用:主要研究与电力生产有关的控制系统的理论和应用。首先提出了对Banach空间中抽象非线性发展方程所描述的最优控制系统的研究。引进非光滑分析，研究最优控制系统的微分方程，利用变分不等式理论研究多值问题、数值计算等，所获理论成果应用于电力系统的

许多最优控制问题(如:电力系统励磁调节器传递函数的辨识、牛顿最优潮流的数学模型等)。

(二)研究方向的特色

1.变分不等式理论与能量泛函的凸性密切相关，由于现代科学技术的需要，特别是研究自由边界和固体力学问题的需要，传统的方法往往都无法解决这类问题，人们对H-半变分不等式进行研究，研究涉及现代分析及应用、偏微分方程以及科学计算等众多领域中亟待解决和发展的重要课题。

2.该研究是现代数学与电力生产的交叉学科研究课题，它对电力生产及管理有着十分重要的理论指导意义和实际应用价值，为控制系统设计、分析和计算都可提供一些重要的理论依据。在应用数学学科的这一研究领域中本课题属于国内外前沿性研究工作。

(三)可取得的突破

1.深入研究空间、时间、时滞对解的性质的影响，诸如静态解、周期解的存在性、解的存在性、渐近性等问题;寻求它们在含间断项的非线性偏微分方程方面的突破。

2.寻求和发现新的处理非单调、非凸不可微能量泛函的方法(如建立Ishikawa迭代序列收敛准则)，建立发展型方程G-收敛准则，寻求可行的光滑方法将算子方程光滑化，创建新的先验估计方法。

3.应用现代数学所获得的理论，研究最有控制系统的微分方程，为控制系统设计、分析和计算提供一些重要的理论依据和方法。

1747年，法国的达朗贝尔等由弦振动的研究而开创偏微分方程论。 1760~1761年，法国的拉格朗日系统地研究了变分法及其在力学上的应用。 随机微分方程数值解

在随机微分方程数值解这个领域，近几年来国内涉足它的人开始逐渐增多。它也是一门建立在随机分析与微分方程数值解之间的新兴学科。作为一个初学者，我想从它的框架简单谈一下自己的认识，以供讨论。从研究的问题本身来说它主要分为:

1随机常微分方程数值方法 2随机偏微分方程数值方法 3随机延时微分方程数值方法 4倒向随机微分方程数值方法

仅这四个方面就已经涵盖目前非常重要的一些技术领域的应用。另外从数值方法上分，它可以分为:

1强逼近问题 2弱逼近问题

还有更强的顺向逼近。国内最早涉足这个领域的是山大的彭实戈老师，已经在倒向随机微分方程理论及随机最优控制方面取得了惊人的突破。国外方面，在美国做随机常微分方程的很少(只有Hchurz，lamba几个)，做随机偏微分方

如Allen,Cao等等)。在欧洲做随机常微分方程的很多(如Talay，程的较多( Higham，Milstein等)。另外澳洲也有专门研究随机常微分方程的(如Burrage)。

随机微分方程(SDE)是a微分方程在哪些一个或更多期限是a随机过程因而造成是本身一个随机过程的解答。一般，SDEs合并空白噪声哪些能被重视作为衍生物苏格兰的植物学家Robert Brown的行动(或熏肉香肠过程);然而，值得一提的是，任意波动的其他类型是可能的，例如跳跃过程(参见[1]).

内容 1背景

1.1术语 1.2随机微积分 1.3数值解 2用途在物理

2.1笔记关于\等式\3用途在可能性和财政数学 4解答的存在和独特 5参考 6参见 背景

在SDEs的最早期的工作被完成描述苏格兰的植物学家Robert Brown的行动爱因斯坦's著名纸和同时由Smoluchowski。然而，其中一更加早期的工作与苏格兰的植物学家Robert Brown的行动有关相信Bachelier(1900)在他的论文'猜想理论'。这工作被跟随了Langevin.最新Ito和Stratonovich在更加坚实的数学立足处投入了SDEs。

术语

在物理学，SDEs通常被写当Langevin等式。这些有时缠扰不清称\等式\即使有许多可能的形式。这些包括包含一个确定部分和一另外任意的一个常微分方程空白噪声期限。第二个形式是福克战斗机Planck等式.福克战斗机Planck等式是描述时间演变的一个偏微分方程概率分布作用.第三个形式是在数学和财务最频繁使用(如下所示)的随机微分方程。这于Langevin形式是相似的，但它在有差别的形式通常被写。这个形式频繁地使用由数学家和在定量财务。SDEs进来二品种，对应于随机微积分的二个版本。

随机微积分

苏格兰的植物学家Robert Brown的行动或熏肉香肠过程数学上被发现是格外复杂的。熏肉香肠过程non-differentiable;因此，它要求微积分它自己的规则。使用随机微积分的二个版本，Ito随机微积分并且Stratonovich随机微积分.当你应该使用一或其他时，它是有些模棱两可的。方便地，你在解答可能再欣然转换Ito SDE成等效Stratonovich SDE和后面成援助;然而，使用的你一定小心当的微积分SDE最初写下时。

数值解

随机微分方程的特别是数值解和随机偏微分方程相对地讲是一个年轻领域。几乎为常微分方程的解答使用的所有算法为SDEs非常不足将运作，有非常恶劣的数字汇合。

用途在物理

在物理，SDEs在Langevin形式典型地被写并且被称为\等式\。例如，一般被结合的套优先处理的SDEs在形式经常被写:

那里是套未知数，fi并且gi是任意作用和ηm是，经常被称为的时间的任意作用\噪声命名\。这个形式通常是能用的，因为有变换的标准技术高次等式成数通过介绍新的未知数结合了优先处理的等式。如果gi是常数，系统被认为受叠加性噪声支配，否则它被认为受乘噪声支配。这个期限是有些引入歧途的，因为它来意味一般案件，即使看起来暗示有限的案件，:.叠加性噪声是简单的二个案件。正确解答可能使用平凡经常被发现微积分.特别是，平凡连锁法则微积分能使用。然而，在乘噪声情况下，Langevin等式不是明确定义的个体独自，并且必须指定它是否应该解释Langevin等式作为Ito SDE或Stratonovich SDE。

在物理，解答主要方法将发现概率分布作用作为时间功能使用等值福克战斗机Planck等式(FPE)。福克战斗机Planck等式是确定的偏微分方程.它告诉怎样概率分布作用及时相似地演变于怎样Schrdinger等式给量子波函数的时间演变或扩散