A字形，A’形，8字形，蝴蝶形，双垂直,旋转形
双垂直结论:射影定理：①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项 ⑴△ACD∽△CDB→AD:CD=CD:BD→CD2=AD?BD ⑵△ACD∽△ABC→AC:AB=AD:AC→AC2=AD?AB ⑶△CDB∽△ABC→BC:AC=BD:BC→BC2=BD?AB
结论：⑵÷⑶得AC2:BC2=AD:BD
结论：面积法得AB?CD=AC?BC→比例式 证明等积式(比例式)策略
1、直接法：找同一三角形两条边变化：等号同侧两边同一三角形 三点定形法 2、间接法： ⑴3种代换 ①等线段代换； ②等比代换； ③等积代换； ⑵创造条件 ①添加平行线——创造“A”字型、“8”字型 ②先证其它三角形相似——创造边、角条件
CADB相似判定条件：两边成比夹角等、两角对应三边比 相似终极策略：
遇等积，化比例，同侧三点找相似； 四共线，无等边，射影平行用等比； 四共线，有等边，必有一条可转换； 两共线，上下比，过端平行条件边。 彼相似，我角等，两边成比边代换。
（3）等比代换：若a,b,c,d是四条线段，欲证
ac?bd，可先证得
ae?bf（e,f是两条线段）然
后证
ec?fd，这里把
ef叫做中间比。
①∠ABC=∠ADE．求证：AB·AE=AC·AD
②△ABC中，AB=AC，△DEF是等边三角形,求证：BD?CN=BM?CE．
③等边三角形ABC中，P为BC上任一点，AP的垂直平分线交AB、AC于M、N两点。 求证：BP?PC=BM?CN
?有射影，或平行，等比传递我看行斜边上面作高线，比例中项一大片
①在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E为AC的中点，求证：AB?AF=AC?DF
FBADEC②
ABCD
③梯形ABCD中，AD//BC，作BE//CD,求证：OC2=OA.OE
?四共线，看条件，其中一条可转换；
Rt△ABC中四边形DEFG为正方形。 求证：EF2=BE?FC
②△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA， 求证：BP2=PE·PF。
③AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于E，交AB于F. 求证： DE2=BE·CE.
FA12BDCE
?两共线，上下比，过端平行条件边。
①AD是△ABC的角平分线.求证：AB:AC=BD:CD.
AE123BDC②在△ABC中，AB=AC， 求证：DF:FE=BD:CE.
A
E
B
CF
D
③在△ABC中，AB>AC，D为AB上一点，E为AC上一点，AD=AE，直线DE和BC的延长线交于点P，求证：BP:CP=BD:CE.
A
D
E
BPC
④在△ABC中，BF交AD于E.
(1)若AE:ED=2:3，BD:DC=3:2，求AF:FC； (2)若AF:FC=2:7，BD:DC=4:3，求AE:ED.
（3）BD:CD=2:3,AE:ED=3:4 求:AF:FC AFE
B CD
⑤在△ABC中，D、E分别为BC的三等分点，AC边上的中线BM交AD于P，交AE于Q，若BM=10cm，试求BP、PQ、QM的长.
相似三角形常见题型解法归纳
