《二次函数》典型例题

由天下分享时间：2025/1/25 12:18:10 加入收藏我要投稿点赞

《二次函数》典型例题

[例1]某商店经销一种销售成本为每千克40元的产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能销售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种产品的销售情况，请解答以下问题： (1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；

(2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)；

(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？

[点拨]：我们知道，销售商品有一些基本数量关系，如：销售额=单价×销售件数，销售利润=销售收入—销售成本(销售成本包括产品本身的成本和销售过程中增加的成本，而在我们的学习研究中，一般不计算销售过程中增加的成本)等.根据题意，以50元/千克时，月销售量为500千克(此时销售收入为50×500=25000元)为标准，单价每增加1元，月销售量就减少10千克，利用上面的基本数量关系，可以解决本题中的问题.

解：(1)月销售量为5005×10=450(千克)，月销售利润为 (55－40)×(500－5×10)=6750(元)

(2)y?x[500－10(x?50)]－40[500－10(x?50)] 即，y??10x2?1400x?40000

(3)8000??10x2?1400x?40000解得x?60或x?80，当x?80时，月销售量为500—30×10=200.此时成本为40×200=8000元，合题意.当x?60时，月销售量为500—10×10=400.此时成本为40×400=16000>10000，不合题意.

答：当销售价格为55元/千克时，月销售量为450千克，月销售利润为6750元；函数解析式为y??10x2?1400x?40000；当销售成本不超过10000元，月销售利润达8000元时，销售价应定为80元/千克.

[例2]若一抛物线y?ax2与四条直线，x?1,x?2,y?1,y?2围成的正方形有公共点.求a的取值范围.

[点拨]：对于二次函数y?ax2有，若|a|越大，抛物线开口越小(反之|a|越小，则开口越大)因此我们需要先作出由直线x?1,x?2,y?1,y?2所围成的正方形，由它的位置决定抛物线的开口方向，再用动态的观点来看，抛物线与正方形有公共点时，开口最大的情况与开口最小的情况，以求a的取值范围.

解：作出由x?1,x?2,y?1,y?2所围成的正方形ABCD，则A(1，2)，B(1，1)，C(2，1)，D(2，2).易知，抛物线y?ax2必开口向上，即a>0.当y?ax2经过c1点时开口最大，此时1=a.22,a?.当抛物线y?ax2经过点A(1，2)时开口最小，

41此时2=a.12,a?2.?a的取值范围是?a?2.

4[例3]如图所示，有一抛物线形涵洞，其函数解析式为y?ax2(a?0)，涵洞跨度AB=12m，内部高度h?4m，为了安全，汽车经过涵洞时，载货最高处与顶部之间的距离不能小于0.5m.现有一辆运货车卡车欲通过涵洞，经测量该车宽度为4m，载货最高处距地面2.5m.问该车能否通过，为什么？

[点拨]：这是一道实际应用题，解题的时候要把实际生活中的问题抽象出来，找到或建立相应的数学模型，再加以解决.

解：如图所示，AB=12m，h?4m.∴A(-6，-4)，B(6，-4).把点A(-6，-4)代

11入函数y?ax2得a?(?6)2= -4，?a??,y??x2，依题意：∵车宽4m，载货

99最高处距地面2.5m，?C(2,?1.5)，∴D的横坐标为2，纵坐标为

1144419y??x2???22??.∴D(2,?),?CD?????1.5??>0.5，能通过涵洞.

9999918[例4]如图，在矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=12厘米，点P从A出发，沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，同时Q从点B出发沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动.如果P，Q两点在分别到达B，C两点后就停止移动，回答下列问题:

(1) 运动开始后第几秒钟时，?PBQ的面积等于8平方厘米?

(2) 设运动开始后第T秒钟时，五边形APQCD的面积为S平方厘米，写出S与T的函数关系式，并指出自变量T的取值范围;

(3) T为何值时，S最小?求出S的最小值.

[点拨]：观察图形有两点是显然但绝不能忽视的，一个是?PBQ的面积与五边形PQCDA的面积之和为定值(矩形ABCD的面积)，另一个是?PBQ在变化过

1程中始终为直角三角形，即S?PBQ=·PB·BQ为不变函数关系.

2解：设P，Q两点的运动时间为t秒，依题意PB=AB-AP=6-t，BQ=2t.

? S△PBQ =

1·(6-t)·2t=t(6-t). 2(1) t(6-t)=8，解得t=2，t=4;

(2) S=AB·BC-S?PBQ=72-t(6-t)=t2 -6t+72(0?t?6); (3) 配方，得S= ?t?3?+63.当t=3时，S最小=63 答(1)运动开始2秒和4秒时，S△PBQ=8. (2)S与t的函数关系为S=t2-6t+72，0?t?6. (3)当t=3时，S最小，最小为63.

[例5]某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和销售，在对历年市场行情和生产情况调查的基础上，对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测，提供了两个方面的的信息，如图甲、乙.

注：甲，乙两图中的每个实心黑点所对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本，生产成本6月份最低，乙图的图象是抛物线.

甲图乙图请你根据图象提供的信息说明：

(1) 在3月份出售这种蔬菜，每千克的收益是多少元?(收益=售价-成本) (2) 哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大?说明理由.

[点拨](1)由图甲可知，3月份出售这种蔬菜，每千克价格为5元，由图乙可知，3月份这种蔬菜的成本价为每千克4元.故⑴可轻松解决;在⑵中可借助图甲、图乙确定出售价、成本价与月份х的关系式，将两表达式相减，即为每千克这种蔬菜的收益是多少，再借助二次函数最值求法，则可解决问题.

解：(1)由图甲知，3月份这种蔬菜的售价为5元，由图乙知，3月份这种蔬菜的成本价为4元，故3月份这种蔬菜的收益为每千克1元； (3)

设图甲中线段的表达式为Y甲=kx+b，由图象可知，

?5?3k?b点(3，5)和(6，3)在y甲=kx+b上，故有?

3?6k?b?2?k??2?解得? 故故，可设y??X?7.又图乙中图象是一条抛物线段，3甲3?b?7?其表达式为y乙?ax2?bx?c.由图乙知，其顶点坐标为(6，1)，且点(3，4)在抛物线段上

??4?9a?3b?c??b故有?? ?62a??4ac?b2?3??4a1解得a?,b??4,c?13.

31故y乙?x2?4x?13.

3从而每千克这种蔬菜的收益为