学习目标 1.能熟练地掌握二项式定理的展开式及有关概念.2.会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题.
1.二项式定理及其相关概念 二项式定理 二项式系数 二项式通项 二项式定理的特例 2.二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律) (1)对称性:________________. (2)性质:Crn+1=________+________.
(3)二项式系数的最大值:_____________________________________________________ ____________________.
rn12(4)二项式系数之和C0n+Cn+Cn+…+Cn+…+Cn=________,所用方法是__________.
公式(a+b)n=__________________________________,称为二项式定理 Tr+1=________________ 0+C1x+C2x2+…+Crxr+…+Cnxn (1+x)n=Cnnnnn
类型一 二项式定理的灵活应用 命题角度1 两个二项式积的问题
例1 (1)在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=________.
(2)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=________. 反思与感悟 两个二项式乘积的展开式中特定项问题
(1)分别对每个二项展开式进行分析,发现它们各自项的特点. (2)找到构成展开式中特定项的组成部分. (3)分别求解再相乘,求和即得.
a1
跟踪训练1 (x+)(2x-)5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式的常数项为( )
xxA.-40 C.20
命题角度2 三项展开式问题
x1?5
例2 ??2+x+2?的展开式中的常数项是________.
反思与感悟 三项或三项以上的展开问题,应根据式子的特点,转化为二项式来解决,转化的方法通常为配方法,因式分解,项与项结合,项与项结合时,要注意合理性和简捷性. 跟踪训练2 求(x2+3x-4)4的展开式中x的系数.
命题角度3 整除和余数问题
例3 今天是星期一,今天是第1天,那么第810天是星期( ) A.一 B.二 C.三 D.四
反思与感悟 (1)利用二项式定理处理整除问题,通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式,再利用二项式定理展开,只考虑后面(或前面)一、二项就可以了. (2)解决求余数问题,必须构造一个与题目条件有关的二项式.
跟踪训练3 设a∈Z,且0≤a<13,若512 015+a能被13整除,则a=________. 类型二 二项式系数的综合应用 1
例4 已知(+2x)n.
2
(1)若展开式中第五项、第六项、第七项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大的项的系数;
(2)若展开式中前三项的二项式系数之和等于79,求展开式中系数最大的项.
B.-20 D.40
反思与感悟 解决此类问题,首先要分辨二项式系数与二项展开式的项的系数,其次理解记忆其有关性质,最后对解决此类问题的方法作下总结,尤其是有关排列组合的计算问题加以细心.
跟踪训练4 已知?2x-
?
1?n
展开式中二项式系数之和比(2x+xlg x)2n展开式中奇数项的二项式x?
系数之和少112,第二个展开式中二项式系数最大的项的值为1 120,求x.
1.在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为( ) A.30 C.15
B.20 D.10
1
x2+2-2?3的展开式中常数项为( ) 2.?x??A.-8 C.-20
-
B.-12 D.20
-
-
17被9除所得的余数是( ) 3.当n为正奇数时,7n+C17n1+C27n2+…+Cnn·n·n·
A.0 C.7
3B.2 D.8
a
4.已知?x-?5的展开式中含x2的项的系数为30,则a等于( )
x??A.3 C.6
B.-3 D.-6
5.若(x-m)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,其中a5=56,则a0+a2+a4+a6+a8=________.
1.两个二项展开式乘积的展开式中特定项问题
(1)分别对每个二项展开式进行分析,发现它们各自项的特点. (2)找到构成展开式中特定项的组成部分. (3)分别求解再相乘,求和即得. 2.三项或三项以上的展开问题
应根据式子的特点,转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决),转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合,项与项结合时要注意合理性和简捷性.
3.用二项式定理处理整除问题,通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式,再用二项式定理展开,只考虑后面(或者前面)一、二项就可以了. 4.求二项展开式中各项系数的和差的方法是赋值代入.
5.确定二项展开式中的最大或最小项的方法是利用二项式系数的性质.
答案精析
知识梳理
n1n1b+…+Cranrbr+…+Cnbn Cr(r=0,1,…,n) Cranrbr(k=0,1,…n) 1.C0na+Cnannnnn
2.(1)Cmn=Cn
-m-
-
-
r1
(2)Crn Cn
n2n-
(3)当n是偶数时,中间的一项取得最大值,即C最大;当n是奇数时,中间的两项相等,且同时取得最大值,即C(4)2n 赋值法 题型探究
例1 (1)120 (2)-1
解析 (1)f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)
0211203=C36C4+C6C4+C6C4+C6C4=120.
n?12n=
Cn?12n最大.
(2)(1+ax)(1+x)5=(1+x)5+ax(1+x)5.
1∴x2的系数为C25+aC5,
则10+5a=5,解得a=-1. 跟踪训练1 D 例2
632
2
241234+C2(x2+3x)2·跟踪训练2 解 (x2+3x-4)4=[(x2+3x)-4]4=C042-4(x+3x)-C4(x+3x)·43(x2+3x)·C443+C444, 4·
显然,上式中只有第四项中含x的项,所以展开式中含x的项的系数是-C33·43=-768. 4·例3 A 跟踪训练3 1
46
例4 解 (1)由已知得2C5n=Cn+Cn,
即n2-21n+98=0,得n=7或n=14.
当n=7时展开式中二项式系数最大的项是第四项和第五项, 1435313
344∵T4=C3x,T5=C47()(2x)=7()(2x)=70x, 222
2018版高中数学北师大版选修2-3学案:第一章习题课二项式定理
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