学习目标 1.能熟练地掌握二项式定理的展开式及有关概念.2.会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题．
1．二项式定理及其相关概念 二项式定理 二项式系数 二项式通项 二项式定理的特例 2.二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律) (1)对称性：________________. (2)性质：Crn＋1＝________＋________.
(3)二项式系数的最大值：_____________________________________________________ ____________________.
rn12(4)二项式系数之和C0n＋Cn＋Cn＋…＋Cn＋…＋Cn＝________，所用方法是__________．
公式(a＋b)n＝__________________________________，称为二项式定理 Tr＋1＝________________ 0＋C1x＋C2x2＋…＋Crxr＋…＋Cnxn (1＋x)n＝Cnnnnn
类型一 二项式定理的灵活应用 命题角度1 两个二项式积的问题
例1 (1)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝________.
(2)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝________. 反思与感悟 两个二项式乘积的展开式中特定项问题
(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点． (2)找到构成展开式中特定项的组成部分． (3)分别求解再相乘，求和即得．
a1
跟踪训练1 (x＋)(2x－)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为( )
xxA．－40 C．20
命题角度2 三项展开式问题
x1?5
例2 ??2＋x＋2?的展开式中的常数项是________．
反思与感悟 三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为配方法，因式分解，项与项结合，项与项结合时，要注意合理性和简捷性． 跟踪训练2 求(x2＋3x－4)4的展开式中x的系数．
命题角度3 整除和余数问题
例3 今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期( ) A．一 B．二 C．三 D．四
反思与感悟 (1)利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了． (2)解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．
跟踪训练3 设a∈Z，且0≤a<13，若512 015＋a能被13整除，则a＝________. 类型二 二项式系数的综合应用 1
例4 已知(＋2x)n.
2
(1)若展开式中第五项、第六项、第七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；
(2)若展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项．
B．－20 D．40
反思与感悟 解决此类问题，首先要分辨二项式系数与二项展开式的项的系数，其次理解记忆其有关性质，最后对解决此类问题的方法作下总结，尤其是有关排列组合的计算问题加以细心．
跟踪训练4 已知?2x－
?
1?n
展开式中二项式系数之和比(2x＋xlg x)2n展开式中奇数项的二项式x?
系数之和少112，第二个展开式中二项式系数最大的项的值为1 120，求x.
1．在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为( ) A．30 C．15
B．20 D．10
1
x2＋2－2?3的展开式中常数项为( ) 2.?x??A．－8 C．－20
－
B．－12 D．20
－
－
17被9除所得的余数是( ) 3．当n为正奇数时，7n＋C17n1＋C27n2＋…＋Cnn·n·n·
A．0 C．7
3B．2 D．8
a
4．已知?x－?5的展开式中含x2的项的系数为30，则a等于( )
x??A.3 C．6
B．－3 D．－6
5．若(x－m)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，其中a5＝56，则a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝________.
1．两个二项展开式乘积的展开式中特定项问题
(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点． (2)找到构成展开式中特定项的组成部分． (3)分别求解再相乘，求和即得． 2．三项或三项以上的展开问题
应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时要注意合理性和简捷性．
3．用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者前面)一、二项就可以了． 4．求二项展开式中各项系数的和差的方法是赋值代入．
5．确定二项展开式中的最大或最小项的方法是利用二项式系数的性质．
答案精析
知识梳理
n1n1b＋…＋Cranrbr＋…＋Cnbn Cr(r＝0,1，…，n) Cranrbr(k＝0,1，…n) 1．C0na＋Cnannnnn
2．(1)Cmn＝Cn
－m－
－
－
r1
(2)Crn Cn
n2n－
(3)当n是偶数时，中间的一项取得最大值，即C最大；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即C(4)2n 赋值法 题型探究
例1 (1)120 (2)－1
解析 (1)f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)
0211203＝C36C4＋C6C4＋C6C4＋C6C4＝120.
n?12n＝
Cn?12n最大．
(2)(1＋ax)(1＋x)5＝(1＋x)5＋ax(1＋x)5.
1∴x2的系数为C25＋aC5，
则10＋5a＝5，解得a＝－1. 跟踪训练1 D 例2
632
2
241234＋C2(x2＋3x)2·跟踪训练2 解 (x2＋3x－4)4＝[(x2＋3x)－4]4＝C042－4(x＋3x)－C4(x＋3x)·43(x2＋3x)·C443＋C444， 4·
显然，上式中只有第四项中含x的项，所以展开式中含x的项的系数是－C33·43＝－768. 4·例3 A 跟踪训练3 1
46
例4 解 (1)由已知得2C5n＝Cn＋Cn，
即n2－21n＋98＝0，得n＝7或n＝14.
当n＝7时展开式中二项式系数最大的项是第四项和第五项， 1435313
344∵T4＝C3x，T5＝C47()(2x)＝7()(2x)＝70x， 222
2018版高中数学北师大版选修2-3学案：第一章习题课二项式定理
