高中数学选修2-3n次独立重复试验和二项分布精选题目（附答案）
(1)n次独立重复试验
一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验． (2)二项分布
一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试
kn－k，k＝0,1,2，…，n.此时验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cknp(1－p)称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．
一、n次独立重复试验
1．某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后面第2位)
(1)5次预报中恰有2次准确的概率； (2)5次预报中至少有2次准确的概率；
(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率． 解： (1)记预报一次准确为事件A，则P(A)＝0.8.
23
5次预报相当于5次独立重复试验，2次准确的概率为C25×0.8×0.2＝0.051
2≈0.05，
因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.
(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件是“5次预报全部不准确或只
514有1次准确”，其概率为C05×0.2＋C5×0.8×0.2＝0.006 72.
∴所求概率为1－0.006 72＝0.993 28≈0.99. (3)说明第1,2,4,5次中恰有1次准确．
3
∴所求概率为C14×0.8×0.2×0.8＝0.020 48≈0.02.
故5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02. 注：
(1)运用n次独立重复试验的概率公式求概率，首先要分析问题中涉及的试验是否为n次独立重复试验，若不符合条件，则不能应用公式求解．
(2)解决实际问题时往往需要把所求概率的事件分拆为若干个事件，而每个事件均为独立重复试验．
2．已知两名射击运动员的射击水平：甲击中目标靶的概率是0.7，乙击中目
标靶的概率是0.6.若让甲、乙两人各自向目标靶射击3次，则
(1)甲恰好击中目标2次的概率是________；
(2)两名运动员都恰好击中目标2次的概率是________．(结果保留两位有效数字)
解析：由题意，甲向目标靶射击1次，击中目标靶的概率为0.7，乙向目标靶射击1次，击中目标靶的概率为0.6，两人射击均服从二项分布．
2
(1)甲向目标靶射击3次，恰好击中2次的概率是C3×0.72×(1－0.7)≈0.44. 2(2)甲、乙两人各向目标靶射击3次，恰好都击中2次的概率是[C23×0.7×(12－0.7)]×[C23×0.6×(1－0.6)]≈0.19.
答案：(1)0.44 (2)0.19
3．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P(ξ＝12)等于( )
?
A．C1012?
3?10?5?2359??10??2
??? B．C11?8??8? ?8??8?????
53?3?9?5?29??9??2
?8??8? D．C9C．C1111???? ?????8??8?
解析：选B 当ξ＝12时，表示前11次中取到9次红球，第12次取到红球，所以
9??P(ξ＝12)＝C11·3?9?5?23359??10??2
?·??·＝C11?8??8?. ?8??8?8????
4．箱中装有标号分别为1,2,3,4,5,6的六个球(除标号外完全相同)，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球的号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸球，恰好有3人获奖的概率是( )
164
A.625 B.625 62496C.625 D.625
1＋52
解析：选D 依题意得获奖的概率为C2＝5(注：当摸出的两个球中有标号
6为4的球时，两球的号码之积是4的倍数，有5种情况；当摸出的两个球中没有标号为4的球时，要使两球的号码之积是4的倍数，只有1种情况，即摸出的两2?96?2?3?1－???个球的标号为2,6)，因此所求概率为C3××＝.故选D. 4
5??5???625
5．某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分．已知他解题的正确率3
为5，若40分为最低分数线，则该学生被选中的概率是( )
?3?42
A．C4×5??× ?5?535??5B．C5×?5?
??
4?C．C5×?
3?4235??5
?×＋C5×?5? ?5?5??
3?3?2?2
?×?? ?5??5?
?
D．1－C35×?
解析：选C 该学生被选中包括“该学生做对4道题”和“该学生做对5道3?3?425??5题”两种情形．故所求概率为C45×??×＋C5×??. ?5?5?5?
6．在等差数列{an}中，a4＝2，a7＝－4.现从{an}的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取3次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为________．(用数字作答)
解析：由已知可求通项公式为an＝10－2n(n＝1,2，3，…)，其中a1，a2，a3，a4为正数，a5＝0，a6，a7，a8，a9，a10为负数，∴从中取一个数为正数的概率为421＝，取得负数的概率为1052.三次取数相当于三次独立重复试验．∴取出的数恰?2?2?1?16为两个正数和一个负数的概率为C23×??×??＝. ?5??2?25
6
答案：25
二、二项分布
9
1．加工某种零件需经过三道工序．设第一、二、三道工序的合格率分别为10，87
9，8，且各道工序互不影响，
(1)加工一个零件是否是独立重复事件？求该零件的合格率；
(2)从该种零件中任取3件，恰好取到X件合格品，X是否服从二项分布？ (3)在(2)的条件下，求恰好取到1件合格品的概率．
解：(1)加工一个零件需经过三道工序，各道工序互不影响，它们是独立的，但三道工序的合格率不同，因此不是独立重复试验．由事件的独立性知，该种零9877
件的合格率P＝10×9×8＝10. (2)从该种零件中任取3件，相当于3次独立重复试验，恰好取到X件合格品，即随机变量X的取值是取到合格品的事件发生的次数，因此X服从二项分布．
7
(3)由二项分布的概率公式得，恰好取到1件合格品的概率P(X＝1)＝C13×10?3?×?10?2＝0.189. ??
注:
利用二项分布来解决实际问题的关键是在实际问题中建立二项分布的模型，也就是看它是否是n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布.
2．在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且1
只需在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为2.
(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；
(2)设这4名考生中选做第15题的考生人数为X，求X的分布列．
解：(1)设事件A表示“甲选做第14题”，事件B表示“乙选做第14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“AB∪A B”，且事件A，B相互独立．
1??1?111?
所以P(AB∪A B)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝2×2＋?1－2?×?1－2?＝2.
????1??
(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4.且X～B?4，2?.
??1?4－k1?1?k?k??4
1－?????所以P(X＝k)＝Ck＝C44?(k＝0,1,2,3,4)． 2??2???2?所以变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
116 14 38 14 116 3．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各个路口是否遇到红灯是相1
互独立的，遇到红灯的概率都是3，遇到红灯时停留的时间都是2 min.
(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； (2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min的概率． 解: (1)第三个路口首次遇到红灯，表示前2个路口是绿灯，第3个路口是红灯．
(2)中事件指这名学生在上学路上最多遇到2次红灯．
(1)设“这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯”为事件A.因为事件A等价于事件“这名学生在第一个和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路1??1?14?
口遇到红灯”，所以事件A的概率为P(A)＝?1－3?×?1－3?×3＝27.
????
(2)设“这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min”为事件B，“这名学生在上学路上遇到k次红灯”为事件Bk(k＝0,1,2,3,4)．
?2?16
由题意得P(B0)＝?3?4＝81，
???1?1?2?332
P(B1)＝C1×4??×??＝， ?3??3?81?1?2?2?224P(B2)＝C24×??×??＝. ?3??3?81
8所以事件B的概率为P(B)＝P(B0)＋P(B1)＋P(B2)＝9. 注：
(1)二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率．解题的一般思路是：根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n，p→写出二项分布的分布列→将k值代入求解概率．
(2)二项分布求解随机变量涉及“至少”“至多”问题的取值概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．
4．某公司安装了3台报警器，它们彼此独立工作，且发生险情时每台报警
高中数学选修2-3n次独立重复试验和二项分布精选题目(附答案)
