(全国通用版)新2020高考数学二轮复习 专题二 数列 第1讲 等差数列与等比数列学案 文【下载】

最新人教版小学试题 11

A．－3 B．3 C．－ D.

33答案 A 解析 ∵5an＋1＝25·5n＝5a

2＋an，

∴an＋1＝an＋2，

∴数列{an}是等差数列，且公差为2. ∵a2＋a4＋a6＝9， ∴3a4＝9，a4＝3.

∴log1(a5＋a7＋a9)＝log13a7＝log13(a4＋6)＝log127＝－3.

33336．(2018·资阳模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝9，a5＝1，则使得Sn>0成立的最大的自然数n为________． 答案 9

1－9

解析 因为a1＝9，a5＝1，所以d＝＝－2，

41

所以Sn＝9n＋n(n－1)(－2)>0，即n<10，

2因此使得Sn>0成立的最大的自然数n为9.

1a5

7．(2018·石嘴山模拟)在正项等比数列{an}中，若a1，a3，2a2成等差数列，则＝________.

2a3答案 3＋22

1

解析 由于a1，a3，2a2成等差数列，

2所以a3＝a1＋2a2，

即a1q＝a1＋2a1q，q－2q－1＝0， 解得q＝2＋1或q＝1－2(舍去)． 故＝q＝3＋22.

8．已知数列{an}满足a1＝2，且an＝答案

2nan－1*

(n≥2，n∈N)，则an＝________.

an－1＋n－1

2

2

a5a3

2

n·2n n2－1

2nan－1nn－11

，得＝＋，

an－1＋n－1an2an－12

解析 由an＝n1?n－1?

－1?(n≥2，n∈N*)． 于是－1＝?an2?an－1?

部编本试题，欢迎下载！ 最新人教版小学试题 11又－1＝－， a12

?n?11n1

??是以－为首项，为公比的等比数列，故－1＝－n， －1∴数列

22an2?an?

∴an＝n(n∈N)．

2－1

9．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…，即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，

n·2n*

n∈N*)，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被3整除

后的余数构成一个新数列{bn}，则b2 017＝________. 答案 1

解析 由题意得引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…， 此数列被3 整除后的余数构成一个新数列为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0，…， 构成以8项为周期的周期数列，所以b2 017＝b1＝1.

10．(2018·天津)设{an}是等差数列，其前n项和为Sn(n∈N)；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(n∈N)，已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6. (1)求Sn和Tn；

(2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整数n的值． 解 (1)设等比数列{bn}的公比为q(q>0)． 由b1＝1，b3＝b2＋2，可得q－q－2＝0. 因为q>0，可得q＝2，故bn＝2

nn－12

*

*

.

1－2n*所以Tn＝＝2－1(n∈N)．

1－2设等差数列{an}的公差为d. 由b4＝a3＋a5，可得a1＋3d＝4.

由b5＝a4＋2a6，可得3a1＋13d＝16，从而a1＝1，d＝1， 故an＝n，所以Sn＝(2)由(1)，有

2×?1－2?n＋1

T1＋T2＋…＋Tn＝(2＋2＋…＋2)－n＝－n＝2－n－2.

1－2

1

2

n?n＋1?

2

(n∈N)．

*

nn由Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，可得

n?n＋1?

2

＋2

n＋1

－n－2＝n＋2

n＋1

，

部编本试题，欢迎下载！ 最新人教版小学试题 整理得n－3n－4＝0， 解得n＝－1(舍去)或n＝4. 所以n的值为4.

B组 能力提高

11．数列{an}是以a为首项，b为公比的等比数列，数列{bn}满足bn＝1＋a1＋a2＋…＋an(n＝1,2，…)，数列{cn}满足cn＝2＋b1＋b2＋…＋bn(n＝1,2，…)，若{cn}为等比数列，则a＋b等于( )

A.2 B．3 C.5 D．6 答案 B

解析 由题意知，当b＝1时，{cn}不是等比数列， 所以b≠1.由an＝abn－1

2

，

a?1－bn?aabn得bn＝1＋＝1＋－，

1－b1－b1－ba?ab?1－b??则cn＝2＋?1＋n－· ?1－b?1－b?1－bab1－b＋aabn＋1

＝2－n＋2＋2，

?1－b?1－b?1－b?ab2－???1－b?＝0，

要使{c}为等比数列，必有?1－b＋a??1－b＝0，

2

nn

??a＝1，

得?

?b＝2，?

a＋b＝3.

12．艾萨克·牛顿(1643年1月4日－1727年3月31日)是英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数f(x)的零点时给出一个数列{xn}满足xn＋1＝xn－

f?xn?2

，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数f(x)＝ax＋bx＋f′?xn?

xn－2

c(a>0)有两个零点1,2，数列{xn}为牛顿数列，设an＝ln ，已知a1＝2，xn>2，则{an}的通

xn－1

项公式an＝________. 答案 2

解析 ∵ 函数f(x)＝ax＋bx＋c(a>0)有两个零点1,2，

2

n部编本试题，欢迎下载！ 最新人教版小学试题 ??a＋b＋c＝0，∴?

?4a＋2b＋c＝0，?

2

??c＝2a，

解得?

?b＝－3a.?

∴f(x)＝ax－3ax＋2a， 则f′(x)＝2ax－3a.

2

axn－3axn＋2a则xn＋1＝xn－

2axn－3ax2x2n－3xn＋2n－2＝xn－＝，

2xn－32xn－3x2n－2

－2

xn＋1－22xn－3∴＝ xn＋1－1x2n－2

－12xn－3

x2n－2－2?2xn－3??xn－2?2， ＝2＝??xn－2－?2xn－3??xn－1?

则数列{an}是以2为公比的等比数列， 又∵a1＝2，

∴数列{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列， 则an＝2·2

n－1

＝2.

n13．(2018·攀枝花统考)记m＝

d1a1＋d2a2＋…＋dnan，若{dn}是等差数列，则称m为数列{an}的

n“dn等差均值”；若{dn}是等比数列，则称m为数列{an}的“dn等比均值”．已知数列{an}的“2n－1等差均值”为2，数列{bn}的“3

n－1

2

等比均值”为3.记cn＝＋klog3bn，数列{cn}的前n项

an和为Sn，若对任意的正整数n都有Sn≤S6，则实数k的取值范围是________．

?1311?答案 ?，? ?54?

解析 由题意得2＝

a1＋3a2＋…＋?2n－1?an，

n所以a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，

所以a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2n－2(n≥2，n∈N)， 两式相减得an＝

2*

(n≥2，n∈N)． 2n－1

*

当n＝1时，a1＝2，符合上式， 2*

所以an＝(n∈N)．

2n－1

b1＋3b2＋…＋3n－1bn又由题意得3＝，

n部编本试题，欢迎下载！ 最新人教版小学试题 所以b1＋3b2＋…＋3所以b1＋3b2＋…＋3两式相减得bn＝3

2－nn－1

bn＝3n，

bn－1＝3n－3(n≥2，n∈N*)，

*

n－2

(n≥2，n∈N)．

当n＝1时，b1＝3，符合上式， 所以bn＝3

2－n(n∈N)．

*

所以cn＝(2－k)n＋2k－1.

因为对任意的正整数n都有Sn≤S6，

??c6≥0，所以?

??c7≤0，

1311

解得≤k≤. 54

14．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a＝(a1,1)，b＝(1，a10)，若a·b＝24，且S11＝143，数列{bn}的前n项和为Tn，且满足2an－1＝λTn－(a1－1)(n∈N)．

*

(1)求数列{an}的通项公式及数列?

?

?anan＋1?

1?

?的前n项和Mn；

(2)是否存在非零实数λ，使得数列{bn}为等比数列？并说明理由． 解 (1)设数列{an}的公差为d， 由a＝(a1,1)，b＝(1，a10)，a·b＝24， 得a1＋a10＝24，又S11＝143，解得a1＝3，d＝2， 因此数列{an}的通项公式是an＝2n＋1(n∈N)， 所以

1

*

anan＋1

＝

1?11?1－＝??，

?2n＋1??2n＋3?2?2n＋12n＋3?

11?1?1111

－所以Mn＝?－＋－＋…＋? 2n＋12n＋3?2?3557＝

n*

(n∈N)． 6n＋9

an－1n(2)因为2＝λTn－(a1－1)(n∈N)，且a1＝3， 2，

*

所以Tn＝＋4

λλ6

当n＝1时，b1＝；

λ3·4

当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝此时有

n－1

λ，

bn＝4，若{bn}是等比数列， bn－1

λλb2612

则有＝4，而b1＝，b2＝，彼此相矛盾，

b1

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