教师质量检测（九）
高数A卷参考答案
一、选择题： 1～5. ABBCB. 二、填空题： 6.3；7．2π；8．三、解答题：
10.（1）f(x)?2sinxcosx?2sinx?1?sin2x?cos2x=2sin(2x+224+2ln2,1)?（1,4] ；9．[23?4)，
再根据正弦函数y?sinx在[?2?2k?,3??2k?]，k?Z上单调递减， 2从而可令?2?2k??2x??4??5?3??2k?，+k??x?+k?，k?Z，
8825??k?]，k?Z； 8即有单调递增区间为[?8?k?,（2）由（1）及条件f(A??8)?1?2，cos2A?，A为锐角，可知A?，又2AC?CB?2ab， 22623?，0?C??，?C?，c?22， 246?42，
则2bacos(??c)?2ab，cosC??利用正弦定理：
asin?3??22??，a?23；又因为B?，sin3?1212sin46?42=3-3 则S?ABC?
11acsinB??23?22?2211.（Ⅰ）连AC1，CB1，则△ACC1和△B1CC1皆为正三角形．
取CC1中点O，连OA，OB1，则CC1⊥OA，CC1⊥OB1，则CC1⊥平面OAB1，则CC1⊥AB1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，OA＝OB1＝3，又AB1＝6，所以OA⊥OB1．
如图所示，分别以OB1，OC1，OA为正方向建立空间直角坐标
系，则C(0，－1，0)，B1(3，0，0)，A(0，0，3)，
设平面CAB1的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
1
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??3?x1?0?y1?3?z1?0因为AB1?(3,0,?3)，AC?(0,?1,?3)，所以?，
??0?x1?1?y1?3?z1?0取m＝(1，－3，1)．设平面A1AB1的法向量为n＝(x2，y2，z2)，
??3?x2?0?y2?3?z2?0因为AB1?(3,0,?3)，AA，所以， ?(0,2,0)?1??0?x1?2?y1?0?z1?0取n＝(1，0，1)．则cos?m,n??m?n210， ??5|m||n|5?210． 5因为二面角C-AB1-A1为钝角，所以二面角C-AB1-A1的余弦值为?
12.依题意，这4个人中，每个人“出资200元”的概率为12，每个人“出资100元”的概率为． 33i（设“这4个人中恰有i人“出资200元”为事件Ai(i＝0,1,2,3,4)，则P(Ai)?C42（1）这4个人中恰有2人“出资200元”的概率P(A2)?C4()2()2?1i24-i）（）， 3313238 27（2）ξ的所有可能取值为0,2,4．由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，
故P(??0)?P(A2)?840，P(??2)?P(A1)?P(A3)?， 278117。 P(??4)?P(A0)?P(A4)?810 2 4 所以ξ的分布列是
? P 8 2740 8117 8184017148 ?2??4??27818181随机变量ξ的数学期望E??0?
?c2??213.解：（1）设F1??c,0?,F2?c,0?，则?a?2a?2c?2??2?1?，解得a?2,c?1，∴b2?a2?c2?1，
2
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x2?y2?1； ∴椭圆E:2?y?kx?m?222(1?2k)x?4kmx?2(m?1)?0，（2）由?x2设直线l与椭圆E相切于点P(x0,y0) ?2?y?1??222则??0,化简?2k?1?m，x0??2km2k， ??1?2k2m2km2?2k212k1?m??，∴P(?,)，又联立y?kx?m与x?2， ∴y0?kx0?m=-mmmmm得到N(2,2k?m)，PF2??1???2k1?,??,FN??1,2k?m?， mm?22k?1(2k?m)=1+2k-2k?1?0
PF1?F2N?(1+2km,?1m)?(1,2k?m)=1+mmmm∴PF2?F2N，∴以PN为直径的圆恒过点F2
(x)?ex?x?1,P?(x)?ex?1， 14.（Ⅰ）令P(x)?f?(x)?0，P(x)单调减；在(0，+?)内，P?(x)?0，P(x)单增． 在(?1,0)内，P?(x)?0， 所以P(x)的最小值为P(0)?0，即f?+?)内单调递增，即f(x)?f(?1)?0． 所以f(x)在(-1，ax?a?ex?0无实根，即ax?a?ex?0无实根， (Ⅱ)根据题意，F(x)?g(x)?1=xex/x令h(x)?ax?a?e，h(x)?a?e，
/若a?0,h(x)?0,h(x)在R上单调递增，存在x0,使得h(x0)?0不合题意，
///若a?0,h(x)?0,x?ln(?a)，h(x)?0,x?ln(?a);h(x)?0,x?ln(?a)，
所以h(x)min?h(ln(?a))?aln(?a)?2a，当h(x)min?0，
即aln(?a)?2a?0解得0?a??e符合题意，综上所述：0?a??e。
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