第4讲 指数与指数函数
【2014年高考会这样考】
1．考查指数函数的图象与性质及其应用．
2．以指数与指数函数为知识载体，考查指数的运算和函数图象的应用． 3．以指数或指数型函数为命题背景，重点考查参数的计算或比较大小． 【复习指导】
1．熟练掌握指数的运算是学好该部分知识的基础，较高的运算能力是高考得分的保障，所以熟练掌握这一基本技能是重中之重．
2．本讲复习，还应结合具体实例了解指数函数的模型，利用图象掌握指数函数的性质．重点解决：(1)指数幂的运算；(2)指数函数的图象与性质.
基础梳理
1．根式 (1)根式的概念
如果一个数的n次方等于a(n＞1且，n∈N*)，那么这个数叫做a的n次方根．也n就是，若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (2)根式的性质
①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这n
时，a的n次方根用符号a表示．
②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的nn
n次方根用符号a表示，负的n次方根用符号－a表示．正负两个n次方根可n
以合写为±a(a＞0)． n?n＝a. ③??a?
n④当n为奇数时，an＝a；
?a ?a≥0?
当n为偶数时，a＝ |a|＝?.
?－a ?a＜0?
nn
⑤负数没有偶次方根． 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念
*
①正整数指数幂：an＝a·a·…·na个 (n∈N)；
②零指数幂：a0＝1(a≠0)；
1
③负整数指数幂：a－p＝ap(a≠0，p∈N*)；
mn④正分数指数幂：an＝am(a＞0，m、n∈ N*，且n＞1)； m11
⑤负分数指数幂：a－n＝m＝(a＞0，m、n∈N*且n＞1)．
annam⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质 ①aras＝ar＋s(a＞0，r、s∈Q) ②(ar)s＝ars(a＞0，r、s∈Q) ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 3．指数函数的图象与性质
y＝ax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 值域 性质 R (0，＋∞) 过定点(0,1) x＜0时，0＜y＜1 x＜0时，y＞1. 在(－∞，＋∞)上是减函数 当x＞0时，0＜y＜1； 当x＞0时，y＞1； 在(－∞，＋∞)上是增函数
一个关系
分数指数幂与根式的关系
根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算． 两个防范
(1)指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按：0＜a＜1和a＞1进行分类讨论． (2)换元时注意换元后“新元”的范围． 三个关键点
画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，1??
?－1，a?. ??双基自测
aπ1．(2011·山东)若点(a,9)在函数y＝3x的图象上，则tan6的值为( )． 3 A．0 B.3 C．1 D.3
aππ
解析 由题意有3a＝9，则a＝2，∴tan 6＝tan 3＝3. 答案 D
2．(2012·郴州五校联考)函数f(x)＝2|x－1|的图象是( )．
解析 f(x)＝??1?
x－1????2?，x<1，答案 B 3．若函数f(x)＝
x－12?，x≥1，
故选B.
1
，则该函数在(－∞，＋∞)上是( )． 2x＋1
B．单调递减有最小值 D．单调递增有最大值
A．单调递减无最小值 C．单调递增无最大值 解析 设y＝f(x)，t＝2x＋1， 1
则y＝t，t＝2x＋1，x∈(－∞，＋∞)
t＝2x＋1在(－∞，＋∞)上递增，值域为(1，＋∞)． 1
因此y＝t在(1，＋∞)上递减，值域为(0,1)． 答案 A
?1?4．(2011·天津)已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝?5?log30.3，则( )．
??A．a＞b＞c C．a＞c＞b
B．b＞a＞c D．c＞a＞b
10?1???解析 c＝5log30.3＝5－log30.3＝5log33，log23.4＞log22＝1，log43.6＜log44＝1，??10
log33＞log33＝1，
101010
又log23.4＞log23＞log3 3，∴log2 3.4＞log3 3＞log4 3.6 又∵y＝5x是增函数，∴a＞c＞b. 答案 C
11
5．(2012·天津一中月考)已知a2＋a－2＝3，则a＋a－1＝______；a2＋a－2＝________.
11
解析 由已知条件(a2＋a－2)2＝9.整理得：a＋a－1＝7
又(a＋a－1)2＝49，因此a2＋a－2＝47. 答案 7 47
考向一 指数幂的化简与求值
【例1】?化简下列各式(其中各字母均为正数)． 2－1111?a3·b?－2·a－2·b3
6a·b5(1)；
51－212－31(2)6a3·b·(－3a－2b－1)÷(4a3·b)2. [审题视点] 熟记有理数指数幂的运算性质是化简的关键．
1111
a－3b2·a－2b3
15
a6b6
解 (1)原式＝
1111151
＝a－3－2－6·b2＋3－6＝a. 512－31(2)原式＝－2a－6b－3÷(4a3·b)2 3?51－3?1
?a3b－2? ＝－4a－6b÷??513
＝－4a－2·b－2 515ab ＝－4·3＝－4ab2.
ab
化简结果要求
(1)若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；
(2)若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示；
(3)结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂． 【训练1】 计算：
1?1?－2?7?1
(1)0.027－3－?－7?＋?29?2－(2－1)0；
????
高考数学第一轮复习指数与指数函数
