（浙江专用）高考数学一轮复习课时跟踪检测（五十）圆锥曲线
的综合问题（含解析）
课时跟踪检测（五十） 圆锥曲线的综合问题
一保高考，全练题型做到高考达标
1．(2024·台州模拟)已知双曲线－＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的
124右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是( )
A.?－C.?－x2y2
????
33?
，? 33?33?，? 33?
B．[－3，3]
D．(－3，3)
3
x，当过右焦点的两条直线分别与3
解析：选A 易知该双曲线的渐近线方程为y＝±两条渐近线平行，即两条直线的斜率分别为
33
和－时，这两条直线与双曲线右支分别只33
有一个交点，所以此直线的斜率的取值范围是?－
??33?，?. 33?
2
2．(2024·宁波调研)已知不过原点O的直线交抛物线y＝2px于A，B两点，若OA，AB的斜率分别为kOA＝2，kAB＝6，则OB的斜率为( )
A．3 C．－2
B．2 D．－3
2
解析：选D 由题意可知，直线OA的方程为y＝2x，与抛物线方程y＝2px联立得
??y＝2x，
?2??y＝2px，
??x＝0，
解得?
??y＝0
p??x＝，
或?2??y＝p，
??所以A?，p?，则直线AB的方程为y－p＝
?2?
2px＝，??9解得?2py＝－??3
p?p??y＝6x－2p，?2
6?x－?，即y＝6x－2p，与抛物线方程y＝2px联立得?2?2??y＝2px，?
p??x＝，或?2??y＝p，
2p－32p??2p所以B?，－?，所以直线OB的斜率kOB＝＝－3.
3?2p?9
9
2
2
πxy3．(2024·杭州二模)倾斜角为的直线经过椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的右焦点F，与椭
4ab
圆交于A，B两点，且AF＝2FB，则该椭圆的离心率为( )
A.C.3 22 2
B. D.
2 33 3
2
2
xy??2＋2＝1，
解析：选B 由题可知，直线的方程为y＝x－c，与椭圆方程联立得?ab??y＝x－c，
∴
??
(a＋b)y＋2bcy－b＝0，且Δ＞0.设A(x，y)，B(x，y)，则?－byy＝??a＋b，
2
2
2
2
4
1
1
2
2
4
12
2
22
－2bcy1＋y2＝22，
a＋b2
??
AF＝2FB，∴(c－x，－y)＝2(x－c，y)，∴－y＝2y，即?－b－2y＝，??a＋b1
1
2
2
1
2
4
2
2
2
2
－2bc－y2＝2，
a＋b2
又
∴
14c2＝2，∴e＝，故选B. 22a＋b3
2
x2y2
4．(2024·温州十校联考)已知点P是双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)右支上一点，
abF1是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段PF1的中垂线，则该双曲线的离心率
是( )
A.2 C．2
B.3 D.5
a2ab?ab?解析：选D 设直线PF1：y＝(x＋c)，则与渐近线y＝－x的交点为M?－，?.因
ba?cc?
2ab??2a为M是PF1的中点，利用中点坐标公式，得P?－＋c，?，因为点P在双曲线上，所以
c??c2
b2－a2
满足
a2c2
2
－
4ab22
cb22
＝1，整理得c＝5ac，解得e＝5.
2
422
5．(2024·丽水五校联考)已知抛物线C：y＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，过点F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，AM⊥l，BN⊥l，M，N为垂足，点Q为MN的中点，|QF|＝2，则p＝________.
解析：如图，由抛物线的几何性质可得，以AB为直径的圆与准线相切，且切点为Q，△MFN是以∠MFN为直角的直角三角形，∴|MN|＝
|BD|483
2|QF|＝4，过B作BD⊥AM，垂足为D，∴|AB|＝＝＝.设A(x1，y1)，B(x2，
sin 60°33
2
y＝2px，??
y2)，由??x－p?，
y＝3?2?????
2
y2
5522
得12x－20px＋3p＝0，∴x1＋x2＝p，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝p33
883
＋p＝p＝，∴p＝3.
33
答案：3
6．已知双曲线x－＝1上存在两点M，N关于直线y＝x＋m对称，且MN的中点在抛物
3线y＝18x上，则实数m的值为________．
解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，
2
2
??x－3＝1，则?yx－??3＝1，
2122
22
y21
1
两式相减，得(x2－x1)(x2＋x1)＝(y2－y1)(y2＋y1)，
3显然x1≠x2.∴
y2－y1y2＋y1y0
·＝3，即kMN·＝3， x2－x1x2＋x1x0
∵M，N关于直线y＝x＋m对称，∴kMN＝－1，
?m3m?∴y0＝－3x0.又∵y0＝x0＋m，∴P?－，?，
?44?
92?m?代入抛物线方程得m＝18×?－?， 16?4?解得m＝0或－8，经检验都符合． 答案：0或－8
7．(2024·湖州六校联考)设抛物线C：y＝4x的焦点为F，过点P(－1,0)作直线l与|AF|
抛物线C交于A，B两点，若S△ABF＝2，且|AF|＜|BF|，则＝________.
|BF|
解析：设直线l的方程为x＝my－1，将直线方程代入抛物线C：y＝4x的方程，得y2
2
2
2
－4my＋4＝0，Δ＝16(m－1)＞0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，|y1|＜|y2|，所以y1＋y2＝4m，
y1·y2＝4，又S△ABF＝2，所以
12222
1＋m·|y2－y1|·2＝|y2－y1|＝2，因此y1＋y2＝2m＋1
2
y2105|AF||x1＋1||my1－1＋1|?y1?11＋y2?y1?1
10，所以＝＝，从而??＝，即＝＝＝??＝. y1·y242|BF||x2＋1||my2－1＋1|?y2?2?y2?2
(浙江专用)高考数学一轮复习课时跟踪检测(五十)圆锥曲线的综合问题(含解析)
