P(K2?k) 0.150 0.100 0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 k
2.072 7.879 n(ad?bc)2参考公式：K?，其中n?a?b?c?d
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2【答案】(1) 在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系.
(2)分布列见解析；EX?1.8（元）. 【解析】
试题分析：（1）由题意求得K2 的值，然后即可确定结论； （2）由题意首先求得分布列，然后求解数学期望即可． 试题解析
（1）由2?2列联表的数据，有
.0.001 10.828 ?n?ad?bc?2?a?b??c?d??a?c??b?d? ?200?3000?1200?2140?60?70?130
5400200?182?8.48?10.828. ??63714?6?7?13因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系. （2）由题意，可知一次骑行用户获得0元的概率为
3.X的所有可能取值分别为0，1，2，103，4.
33911?3??， ∵P?X?0?????，P?X?1??C2 ?21010?10?1002P?X?2??C12
1113?1?3711，P?X?3??C2 ??， ?????255510?2?100221?1?， P?X?4?????525??∴X的分布列为：
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X P
0 1 3 102 37 1003 1 54 1 259 100X的数学期望为EX?1?
33711?2??1.8（元）. ?3??4?1010052520.已知平面内点P?x,y?到点F的距离和到直线x?2的距离之比为（，10）轨迹为曲线C． （I）求曲线C的方程；
2，若动点P的2（II）过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为设O为坐标原点.证明：（2，0）?OMA??OMB．
x2【答案】（I）?y2=1（II）见解析
2【解析】 【分析】
（I）根据题目点P?x,y?到点F的距离和到直线x?2的距离之比为（，10）等式方程，化简可得轨迹C的方程；
（II）对直线l分l?x轴、l与x轴重合以及l存在斜率且斜率不为零三种情况进行分析，当l存在斜率且斜率不为零时，利用点斜式设直线方程，与曲线C的方程进行联立，结合韦达定理，可推得kMA?kMB?0，从而推出?OMA??OMB。
【详解】解：（I）∵P(x,y)到点F(1,0)的距离和到直线x?2的距离之比为2，列出相应的22. 2(x?1)2?(y?0)22∴，x?2. ?|x?2|2x2化简得：?y2=1．
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x2故所求曲线C的方程为：?y2=1.
2（II）分三种情况讨论：
1、当l?x轴时，由椭圆对称性易知：?OMA??OMB．
2、当l与x轴重合时，由直线与椭圆位置关系知：?OMA??OMB?0 3、设l为：y?k(x?1)，k?0，且Ax1,k?x1?1?，Bx2,k?x2?1?，
?????y?k(x?1)?22222k?1x?4kx?2k?2?0， 由?x2化简得：??2??y?1?24k22k2?2∴x1+x2=，x1x2?
2k2+12k2?1设MA,MB，所在直线斜率分别为：kMA，kMB，则
kMA?kMB?k?x1?1??0x1?2?k?x2?1??0x2?2?k?2x1x2?3?x1?x2??4x1x2?2?x1?x2?
2k2?24k22?2?3?2?42k?12k?1?k? 2k2?24k2?2?222k?12k?14k2?4?12k2?8k2?4 ?k??6k2?2?0
此时，?OMA??OMB．
综上所述：?OMA??OMB.
【点睛】本题主要考查了利用定义法求轨迹方程以及直线与圆锥曲线的综合问题。解决直线与圆锥曲线位置关系中常用的数学方法思想有方程思想，数形结合思想以及设而不求的整体代入的技巧与方法。
21.已知函数f(x)?2(x?1)e?ax?4ax?2. （a?0）（I）讨论f(x)极值点的个数.
x2 - 18 -
（II）若x0(x0??2)是f(x)的一个极值点，且f(?2)>2e-2-2，证明：f(x0)?0. 【答案】（I）答案不唯一，具体见解析（II）见解析 【解析】 【分析】
（I） 根据题目条件，求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，从而求得函数的极值的个数。
（II）根据x0(x0??2)是f(x)的一个极值点，得出x0?ln(?a)，再根据f(?2)>2e-2-2，求出a的范围，再利用（１）中的结论，得出f(x)的单调性，观察得出f(0)?0，对ln(?a)与0的大小关系进行分类讨论，结合函数单调性，即可证明f(x0)?0。
【详解】（I）∵f(x)?2(x?1)e?ax?4ax?2，a?0，x?(??,??)．
?x∴f(x)?2(x?2)e?a?0?x1??2或x2?ln(?a)
x2??1、当ln(?a)??2，即?e?2?a?0时，
若x?(??,ln(?a))，则f?(x)?0，f(x)单调递增； 若x?(ln(?a),?2)，则f?(x)?0，f(x)单调递减； 若x?(?2,??)，则f?(x)?0，f(x)单调递增； 此时，f(x)有两个极值点：ln(?a)，?2．
2、当ln(?a)??2，即a??e?2时，f?(x)?0，f（x）单调递增， 此时f(x)无极值点.
3、当ln(?a)??2，即a??e?2时，
若x?(??,?2)，则f?(x)?0，f(x)单调递增； 若x?(?2,ln(?a))，则f?(x)?0，f(x)单调递减； 若x?(ln(?a),??)，则f?(x)?0，f(x)单调递增； 此时，f(x)有两个极值点：?2，ln(?a)．
?2?2故当a??e?2时，f(x)无极值点：当a???,?e??e,0时，f(x)有两个极值点.
???? - 19 -
?2?2（II）由（Ⅰ）知，x0?ln(?a)，且f(?2)??2e?4a?2?2e?2，
∴a??e?2，由（1）中3知：f(x)在(??,?2)上单调递增，在(?2,ln(?a))上单调递减，在
(ln(?a),??)上单调递增
又f(0)?0（这一步是此题的关键点，观察力）
1、当ln(?a)?0即a??1时，f(x)在(0,ln(?a))上单调递减， 此时，f?x0??f(ln(?a))?f(0)?0成立.
2、当ln(?a)?0即a??1时，f?x0??f(ln(?a)?f(0)?0成立. 3、当ln(?a)?0即?1?a??e?2时，f(x)在(ln(?a),0)上单调递增. 此时，f?x0??f(ln(?a))?f(0)?0成立. 综上所述，f?x0??0，当a?1时，“=”成立.
【点睛】本题主要考查了求含有参数的函数的极值点的个数问题，以及利用利用导数证明不等式问题，解题时用到了分类讨论的思想。
选考题：共10分。请考生在第22．23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分。
??x?3?t(t为参数）22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为?，在极坐标系（与
y?5?t??直角坐标系xOy取相同的单位长度，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为??25sin?.
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）设圆C与直线l交于A，B两点，若点P坐标为（3，5），求|PA|?|PB|的值. 【答案】（1）x2?y2?25y?0（2）4 【解析】 【分析】
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河南省2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题理(含解析)
