射阳县2010年高中数学青年教师基本功大赛
笔试试题(一)答案
一、基础知识（共10小题，每题3分，计30分） 1.自主学习、合作学习、探究学习.
2.知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观. 3.
欧几里德 勾股定理
毕达哥拉斯 形式主义数学
希尔伯特 《几何原本》
4.分类讨论,数形结合,函数与方程,化归与转化. 5.空间想象,抽象概括,推理论证,运算求解,数据处理.
6.广阔性、深刻性、独立性、批判性、逻辑性、灵活性、敏捷性、创造性. 7.不可度量的线段的发现；无穷小量是零还不是零；罗素悖论的产生. 8.数缺形时少直观,形少数时难入微.
9.几何证明选讲,矩阵与变换,数列与差分,坐标系与参数方程,不等式选讲,初等数论初步,优选法与试验设计初步,统筹法与图论初步,风险与决策,开关电路与布尔代数.
10.拟定计划；实现计划；回顾.
二、解题能力测试（共5题，每题18分，计90分）
11.请建立适当的模型来推导两角差的余弦公式:cos(???)?cos?cos??sin?sin?.
见必修4教材.模型建立………………………9分,公式证明…………………………18分 12. 解:这样的函数有无数个…………………………………………………………………(8分)
如(1) y=x2, x∈[0,2] ………(13分) (2) y=x2, x∈[－2,2]. ……………(18分)
5?2???弧度/秒 ………………………………………5分 13. 解: (Ⅰ)OP旋转的角速度ω=606?2 (Ⅱ)易知A=22,所以z?f(t)?22sin(t??)?2,将(0,0)代入得sin???,
62??而????0,故??? ,
24??从而函数f(t)的解析式为z?f(t)?22sin(t?)?2………………………………13分
64??(Ⅲ)令z?22sin(t?)?2?22?2,
64???得t??,解之得t?4.5，即点P第一次到达最高点需要4.5秒. 64260?12,即水轮转一圈需要12秒, 又5从而点P第二次到达最高点需要4.5+12=16.5秒………………………………………18分
1
222214. 解：(Ⅰ)设公差为d，则a2，由性质得?3d(a4?a3)?d(a4?a3)， ?a5?a4?a37?6因为d?0，所以a4?a3?0，即2a1?5d?0，又由S7?7得7a1?d?7，
2解得a1??5，d?2………………………………………………………………………7分 所以?an?的通项公式为an?2n?7，前n项和Sn?n2?6n ………………………9分
aa(2m?7)(2m?5)（Ⅱ）mm?1?，令2m?3?t，
am?2(2m?3)amam?1(t?4)(t?2)8??t??6……………………………………………………13分 am?2tt因为t是奇数，所以t可取的值为?1,
8当t?1，m?2时，t??6?3，2?5?7?3，是数列?an?中的项；
t8t??1，m?1时，t??6??15，数列?an?中的最小项是?5，不符合.
t所以满足条件的正整数m?2……………………………………………………………18分
15. 解:(Ⅰ)设切线l方程为y?2?k(x?4) ，易得 ∴切线l方程为y?2?|4k?2|k2?1?1，解得k?8?19……4分 158?19(x?4) ……………………………………………………6分 15（Ⅱ）圆心到直线y?2x?1的距离为5,设圆的半径为r，则r2?22?(5)2?9,
∴⊙M的方程为(x?4)2?(y?2)2?9………………………………………………… 10分 （Ⅲ）假设存在这样的点R(a,b)，点P的坐标为(x,y)，相应的定值为?， 根据题意可得PQ?x?y?1，∴
22x2?y2?1(x?a)?(y?b)22??,
即x2?y2?1??2(x2?y2?2ax?2by?a2?b2) （*），
又点P在圆上∴(x?4)2?(y?2)2?9，即x2?y2?8x?4y?11，代入（*）式得：
8x?4y?12??2(8?2a)x?(4?2b)y?(a2?b2?11) ………………………………14分
????2(8?2a)?8?若系数对应相等，则等式恒成立，∴??2(4?2b)?4，
??2(a2?b2?11)??12?2110,b?,??…………………………………………16分 553PQ∴可以找到这样的定点R，使得为定值. 如点R的坐标为(2,1)时，比值为2；
PR2110点R的坐标为(,)时，比值为……………………………………………………18分
553解得a?2,b?1,??2或a?
2
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