历届华杯赛决赛试题剖析5
华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题（小学组）
真题尝试 感悟心得 一、填空题（每小题 10分, 共80分） 1. 算式 10?10.5??5.2?14.6??9.2?5.2?5.4?3.7?4.6?1.5?? 的值为 . 2. 箱子里已有若干个红球和黑球, 放入一些黑球后, 红球占全部球数的四分之一；再放入一些红球后, 红球的数量是黑球的三分之二. 若放入的黑球和红球数量相同, 则原来箱子里的红球与黑球数量之比为 . 3. 有两个体积之比为5:8的圆柱, 它们的侧面的展开图为相同的长方形, 如果把该长方形的长和宽同时增加6, 其面积增加了114. 那么这个长方形的面积为 . 4. 甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食, 如果从甲粮库调90袋到乙粮库, 则乙粮库存粮的袋数是甲粮库的2倍．如果从乙粮库调若干袋到甲粮库, 则甲粮库存粮的袋数是乙粮库的6倍．那么甲粮库原来最少存有 袋的粮食. 5. 现有211名同学和四种不同的巧克力, 每种巧克力的数量都超过633颗. 规定每名同学最多拿三颗巧克力, 也可以不拿. 若按照所拿巧克力的种类和数量都是否相同分组, 则人数最多的一组至少有 名同学. 6. 张兵1953年出生，在今年之前的某一年, 他的年龄是9的倍数并且是这一年的各位数字之和，那么这一年他 岁. 7. 右图是一个五棱柱的平面展开图, 图中的正方形边长都为2. 按图所示数据, 这个五棱柱的体积等于 . 真题尝试 感悟心得 8. 在乘法算式 草绿?花红了?春光明媚 中, 汉字代表非零数字, 不同汉字代表不同的数字, 那么春光明媚所代表的四位数最小是 . 二、解答下列各题（每题10分, 共40分, 要求写出简要过程） 9. 如右图, ABCD 是平行四边形, E为AB延长线上一点, K为AD延长线上一点.连接BK, DE相交于一点O. 问: 四边形ABOD与四边形ECKO的面积是否相等? 请说明理由. 10. 能否用500个右图所示的1?2的小长方形拼成一个5?200的大长方形, 使得5?200的长方形的每一行、每一列都有偶数个星? 请说明理由. 真题尝试 感悟心得 11. 将一个2n位数的前n位数和后n位数各当成一个n位数, 如果这两个n位数之和的平方正好等于这个2n位数, 则称这个2n位数为卡布列克 (Kabulek) 怪数，例如，(30?25)2?3025, 所以3025是一个卡布列克怪数. 请问在四位数中有哪些卡布列克怪数? 22???p9812. 已知98个互不相同的质数p1,p2,?,p98, 记 N?p12?p2, 问: N被3除的余数是多少？ 三、解答下列各题（每小题 15分，共30分，要求写出详细过程） 13. 小李和小张在一个圆形跑道上匀速跑步, 两人同时同地出发, 小李顺时针跑,每72秒跑一圈; 小张逆时针跑, 每80秒跑一圈. 在跑道上划定以起点为中心的时间为多少秒? 14. 把一个棱长均为整数的长方体的表面都涂上红色, 然后切割成棱长为1的小立方块, 其中, 两面有红色的小立方块有40块, 一面有红色的小立方块有66块, 那么这个长方体的体积是多少? 1圆弧区间, 那么两人同时在划定的区间内所持续的4
第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛笔试试题A参考答案
（小学高年级组）
一、填空（每题 10 分, 共80分）
题号 答案 1 9.3 2 1:2 3 40 4 153 5 7 6 18 7 7 8 4396 二、解答下列各题（每题 10 分, 共40分, 要求写出简要过程）
9. 答案：是.
解答. 连接AC. 则
SECKB?S?CEB?S?BCK
?S?CEB?S?BCA ?S?ACE?S?EAD
所以
SECKB?S?OBE?S?EAD?S?OBE.
因此SECKO?SABOD. 即
四边形ABOD的面积=四边形ECKO的面积.
10. 答案：能
解答. 首先构造5?4的长方形如下:
然后用50个5?4的即可拼成5?200的长方形.
11. 答案：2025, 3025, 9801.
解答. 设一个四位卡布列克怪数为 100x?y, 其中10?x?99,0?y?99. 则由题意知
100x?y?(x?y)2, 两边模99得
x?y?(x?y)2(mod99),
因此 99|(x?y)(x?y?1), 故x?y与x?y?1中有一个能被9整除, 也有一个能被11整除（可能是同一个数）, 且有10?(x?y)?100x?y?100，即
22210?x?y?100. （*）
若x?y能被99整除，由（*）知x?y只能是99，满足条件的四位数是9801；若x?y－1能被99整除，由（*）, 显然没有满足条件的四位数；此外，可设x?y＝9m，x?y－1＝11n，则有9m-11n=1, 由（*）, m和n均为小于12的正整数，故得到m＝5，n＝4， x?y只能是45，满足条件的四位数是2025；反之，可设x?y－1＝9m，x?y＝11n，满足条件的四位数是3025.
故四位数中有三个卡布列克怪数, 它们分别为2025, 3025和9801.
12. 答案：1或2
解答. 对于质数3, 3 被3整除. 其余的质数, 要么是3k?1型的数, 要么是3k?2型的数. 由于
2(3k?1)2?9k?6k?1?3(3k2?2k)?1,
被3除余1, 且
(3k?2)2?9k2?12k?4?3(3k2?4k?1)?1,
被3除也余1. 因此有
历届华杯赛决赛试题剖析--第五讲（第十七届）
