初高中数学衔接教材
1.乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 (a?b)(a?b)?a2?b2； （2）完全平方公式 (a?b)2?a2?2ab?b2． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式 (a?b)(a2?ab?b2)?a3?b3； （2）立方差公式 (a?b)(a2?ab?b2)?a3?b3；
（3）三数和平方公式 (a?b?c)2?a2?b2?c2?2(ab?bc?ac)； （4）两数和立方公式 (a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3； （5）两数差立方公式 (a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：(x?1)(x?1)(x2?x?1)(x2?x?1)．
222?解法一：原式=(x2?1)?(x?1)?x??
=(x2?1)(x4?x2?1) =x6?1．
解法二：原式=(x?1)(x2?x?1)(x?1)(x2?x?1) =(x3?1)(x3?1) =x6?1．
例2 已知a?b?c?4，ab?bc?ac?4，求a2?b2?c2的值． 解： a2?b2?c2?(a?b?c)2?2(ab?bc?ac)?8．
练 习 1．填空： （1）
121211a?b?(b?a)（ ）； 942322 （2）(4m? )?16m?4m?( )； (3 ) (a?2b?c)?a?4b?c?( )． 2．选择题：
2222（1）若x?21mx?k是一个完全平方式，则k等于 （ ） 22（A）m （B）
21211m （C）m2 （D）m2 4316
2（2）不论a，b为何实数，a?b?2a?4b?8的值 （ ） （A）总是正数 （B）总是负数
（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数
2．因式分解
因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．
1．十字相乘法 例1 分解因式：
（1）x2－3x＋2； （2）x2＋4x－12； （3）x2?(a?b)xy?aby2； （4）xy?1?x?y．
解：（1）如图1．1－1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有
x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．
x
－1
1
－1
1
－2
x
1 x x 1 6 －2 －by －2
图1．1－3 图1．1－1 图1．1－4 图1．1－2
说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x用1来表示（如图1．1－2所示）．
（2）由图1．1－3，得
－ay
x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)． （3）由图1．1－4，得
x2?(a?b)xy?aby2＝(x?ay)(x?by) （4）xy?1?x?y＝xy＋(x－y)－1
x y
图1．1－5
－1 1
＝(x－1) (y+1) （如图1．1－5所示）．
课堂练习
一、填空题：
1、把下列各式分解因式：
（1）x?5x?6?__________________________________________________。 （2）x?5x?6?__________________________________________________。 （3）x?5x?6?__________________________________________________。 （4）x?5x?6?__________________________________________________。 （5）x??a?1?x?a?__________________________________________________。
22222（6）x?11x?18?__________________________________________________。 （7）6x?7x?2?__________________________________________________。 （8）4m?12m?9?__________________________________________________。 （9）5?7x?6x?__________________________________________________。 （10）12x?xy?6y?__________________________________________________。 2、x?4x? ??x?3??x? ?
22222223、若x?ax?b??x?2??x?4?则a? ，b? 。
2二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的）
1、在多项式（1）x?7x?6（2）x?4x?3（3）x?6x?8（4）x?7x?10 （5）x?15x?44中，有相同因式的是（ ） A、只有（1）（2） C、只有（3）（5）
222222B、只有（3）（4）
D、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）
22、分解因式a?8ab?33b得（ ）
a?3? B、?a?11b?? a?3b? C、?a?11b?? a?3b? D、?a?11b?? a?3b? A、?a?11??3、?a?b??8?a?b??20分解因式得（ ）
2 a?b?2? B、?a?b?5?? a?b?4? A、?a?b?10?? a?b?10? D、?a?b?4?? a?b?5? C、?a?b?2??4、若多项式x?3x?a可分解为?x?5??x?b?，则a、b的值是（ ）
2A、a?10，b?2 B、a?10，b??2 C、a??10，b??2 D、a??10，b?2
x?b?其中a、b为整数，则m的值为（ ） 5、若x?mx?10??x?a??2A、3或9 B、?3 C、?9 D、?3或?9
三、把下列各式分解因式
1、6?2p?q?2?11?q?2p??3 2、a3?5a2b?6ab2
3、2y2?4y?6 4、b4?2b2?8
2．提取公因式法
例2 分解因式：
（1） a2?b?5??a?5?b?
（2）x3?9?3x2?3x
解： （1）．a2?b?5??a?5?b?=a(b?5)(a?1)
（2）x3?9?3x2?3x=(x3?3x2)?(3x?9)=x2(x?3)?3(x?3) =(x?3)(x2?3)． 或
x3?9?3x2?3x＝(x3?3x2?3x?1)?8＝(x?1)3?8＝(x?1)3?23
＝[(x?1)?2][(x?1)2?(x?1)?2?22] ＝(x?3)(x2?3) 课堂练习：
一、填空题：
1、多项式6x2y?2xy2?4xyz中各项的公因式是_______________。 2、m?x?y??n?y?x???x?y??__________________。 3、m?x?y?2?n?y?x?2??x?y?2?____________________。
4、m?x?y?z??n?y?z?x???x?y?z??_____________________。 5、m?x?y?z??x?y?z??x?y?z??______________________。 6、?13ab2x6?39a3b2x5分解因式得_____________________。 7．计算992?99=
二、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“×” ）
1、2a2b?4ab2?2ab?a?b?………………………………………………………… 2、am?bm?m?m?a?b?…………………………………………………………… ） ）（
（
3、?3x?6x?15x??3xx?2x?5…………………………………………… （ ） 4、x?xnn?132?2??xn?1?x?1?……………………………………………………………… （ ）
3：公式法
例3 分解因式： （1）?a4?16 （2）?3x?2y???x?y?
22解：(1)?a4?16=42?(a2)2?(4?a2)(4?a2)?(4?a2)(2?a)(2?a)
(2) ?3x?2y???x?y?=(3x?2y?x?y)(3x?2y?x?y)?(4x?y)(2x?3y)
22
课堂练习
一、a?2ab?b，a?b，a?b的公因式是______________________________。
二、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“×” ）
2222334?2??2??2?21、x2?0.01??x???0.1???x?0.1? ?x?0.1?………………………… （ ）
9?3??3??3?22 3a?4b? ………………………………… 2、9a?8b??3a???4b???3a?4b??（ ）
222 5a?4b?………………………………………………… （ ） 3、25a?16b??5a?4b??24、?x?y??x?y222?22????x?y?? x?y?………………………………………… （ ）
2 a?b?c?……………………………………………… （ ） 5、a??b?c???a?b?c??五、把下列各式分解
21、?9?m?n???m?n? 2、3x?221 32
3、4?x2?4x?2 4、x?2x?1
??244．分组分解法
例4 （1）x2?xy?3y?3x （2）2x2?xy?y2?4x?5y?6．
（2）2x2?xy?y2?4x?5y?6=2x2?(y?4)x?y2?5y?6 =2x2?(y?4)x?(y?2)(y?3)=(2x?y?2)(x?y?3)．
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