1．若点A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则l的一个单位方向向量为__________．
14
答案：(1,2,3)
14
2．已知平面α内两向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量是__________．
解析：设平面α的法向量n＝(x，y，z)，则 由n·a＝0，得2x＋3y＋z＝0.① 由n·b＝0，得5x＋6y＋4z＝0.②
??x＝－2z，解得?
?y＝z.?
x＝－2，??
令z＝1，得?y＝1，
??z＝1.
∴平面α的一个法向量是(－2,1,1)．
答案：(－2,1,1)
3．已知a，b分别是直线l1，l2的方向向量，则下列所给的向量中，l1∥l2的一组是__________(填序号)．
(1)a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)；(2)a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)；(3)a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)．
1
解析：(1)中a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)，∴a＝－b.
3
(2)中a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，a·b＝0. (3)中a，b既不共线，数量积也不为0. 答案：(4)
4．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，下列所给向量中，能作为平面α的法向量的是__________．
(1)(0，－3,1)；(2)(2,0,1)；(3)(－2，－3,1)；(4)(－2,3，－1)．
解析：所有与n＝(2，－3,1)共线的向量都是平面α的法向量，只有(4)的向量与n＝(2，－3,1)共线．
答案：(4)
一、填空题
1．已知直线l过点A(1,2,3)，B(2,5,8)，且a＝(－2，m，n)是直线l的方向向量，则m＋n＝__________.
－2mn→→
解析：AB＝(1,3,5)，由题意知，a∥AB.∴＝＝.∴m＝－6，n＝－10.∴m＋n＝－
135
16.
答案：－16
2．已知平面α经过点P(1,1,1)，平面α的法向量n＝(1,2,3)，M是平面α内的任一点．则M点的坐标(x，y，z)满足的关系式为__________．
→
解析：PM＝(x－1，y－1，z－1)，
∵n＝(1,2,3)是平面α的一个法向量，
→→
∴n⊥PM.从而n·PM＝0，
即(1,2,3)·(x－1，y－1，z－1)＝0. 整理，得x＋2y＋3z－6＝0.
答案：x＋2y＋3z－6＝0
3．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α和平面β的位置关系是__________．
解析：平面α与平面β的法向量的数量积为(1,2,0)·(2，－1,0)＝2－2＋0＝0，所以两个法向量垂直，故两个平面互相垂直．
答案：垂直 4.
如图，已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°，E为AC的中点，那么以下向量为平面ACD的法向量的为__________．
→→→→①BA ②BD ③BC ④BE
→→→
解析：判断平面ACD的法向量，可以从平面ACD中找出AC、AD、CD中的两个向量，分别与选项中的向量求数量积，判断垂直而得；也可以直接利用已知边角关系判断线面垂直．设AD＝1，则BD＝CD＝1，因为△BDA、△ACD为直角三角形，所以AB＝AC＝2.又因为∠BAC＝60°，所以BC＝2.所以△BCD也是直角三角形(BD⊥CD)，从而可得BD⊥平面ACD.
答案：②
5．若直线a和b是异面直线，它们的方向向量分别是(1,1,1)和(2，－3，－2)，则直线a和b的公垂线的一个方向向量是__________．
解析：设公垂线的一个方向向量是(x，y，z)，则有(x，y，z)·(1,1,1)＝0且(x，y，
??x＋y＋z＝0，
z)·(2，－3，－2)＝0，即?
?2x－3y－2z＝0.?
令x＝1，得y＝4，z＝－5.
答案：(1,4，－5)(答案不惟一)
6．已知直线l1的方向向量为a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量为b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是________．
2
解析：因为|a|＝6，所以4＋16＋x＝36，即x＝±4，当x＝4时，a＝(2,4,4)，由a·b＝0得4＋4y＋8＝0，解得y＝－3，此时x＋y＝4－3＝1；当x＝－4时，a＝(2,4，－4)，由a·b＝0得4＋4y－8＝0，解得y＝1，此时x＋y＝－4＋1＝－3.综上，得x＋y＝－3或1.
答案：－3或1
→→
7．已知AB＝(2,2,1)，AC＝(4,5,3)，则平面ABC的一个单位法向量是________．
122
答案：(，－，) 333
8．已知三点A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面ABC的单位法向量为________．
→→
解析：设平面ABC的单位法向量为n＝(x，y，z)，由已知得AB＝(0，－1,1)，BC＝(－
→→→→
1,1,0)，CA＝(1,0，－1)，因为n与AB，BC，CA都垂直，所以z－y＝0，y－x＝0，x－z＝0，
3333222
所以x＝y＝z，又因为|n|＝1，所以x＋y＋z＝1，解得n＝(，，)或n＝(－，
3333－
33
，－)． 33
333333
，，)或(－，－，－) 333333
二、解答题 答案：(
→
9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O为底面ABCD的中心，求证：OB1是平面PAC的法向量．
证明：如图，建立空间直角坐标系，
不妨设正方体的棱长为2，
→→
则A(2,0,0)，P(0,0,1)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，O(1,1,0)，于是OB1＝(1,1,2)，AC＝(－
→
2,2,0)，AP＝(－2,0,1)．
→→→→
由于OB1·AC＝－2＋2＝0及OB1·AP＝－2＋2＝0， →→→→∴OB1⊥AC，OB1⊥AP.
→
∵AC∩AP＝A，∴OB1⊥平面PAC， →
即OB1是平面PAC的法向量．
10．已知A(2,2,2)，B(2,0,0)，C(0,2，－2)． (1)写出直线BC的一个方向向量；
(2)设平面α经过点A，且BC是α的法向量，M(x，y，z)是平面α内的任意一点，试写出x，y，z满足的关系式．
解：(1)∵B(2,0,0)，C(0,2，－2)， →
∴BC＝(－2,2，－2)，
即(－2,2，－2)为直线BC的一个方向向量．
→
(2)由题意AM＝(x－2，y－2，z－2)， →
∵BC⊥平面α，AM?α， →→∴BC⊥AM.
∴(－2,2，－2)·(x－2，y－2，z－2)＝0. ∴－2(x－2)＋2(y－2)－2(z－2)＝0. 化简得x－y＋z－2＝0. 11.
如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E为AB的中点，求平面CD1E的一个法向量．
解：
如图，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,1)． ∴E(1,1,0)．
→
∴CE＝(1，－1,0)， →
CD1＝(0，－2,1)．
设平面CD1E的法向量为n＝(x，y，z)，
→→
则n·CE＝0，n·CD1＝0.
??x－y＝0，∴?
?－2y＋z＝0.?
??x＝y，
∴?
?z＝2y.?
令y＝1，则x＝1，z＝2.
∴平面CD1E的一个法向量为(1,1,2)．
【优化方案】2020高中数学 第3章3.2.1知能优化训练 苏教版选修2-1
