《圆周运动中的临界问题》习题课
教学目的
会运用受力分析及向心力公式解决圆周运动的临界问题 教学重点
掌握解决圆周运动的两种典型的临界问题 教学难点
会分析判断临界时的速度或受力特征 教学内容 一、
复习有关概念
1、向心加速度的概念
2、向心力的意义 （由一个力或几个力提供的效果力） 二、新课
1、在竖直平面内作圆周运动的临界问题
⑴如图1、图2所示，没有物体支承的小球，在竖直平面作圆周运动过最高
v R 绳 R v R 杆 O v0
图 1
图 2
图 3
点的情况
①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用 v临界＝Rg
②能过最高点的条件：v≥Rg ，当v＞Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力。
③不能过最高点的条件：v＜v临界（实际上球没到最高点时就脱离了轨道）。
⑵如图3所示情形，小球与轻质杆相连。杆与绳不同，它既能产生拉力，也能产生压力
①能过最高点v临界＝0，此时支持力N＝mg
②当0＜v＜Rg 时，N为支持力，有0＜N＜mg，且N随v的增大而减小 ③当v＝Rg 时，N＝0
④当v＞Rg ，N为拉力，有N＞0，N随v的增大而增大
例1 （99年高考题）如图4所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它做圆周运动。图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球作用力可能是 （ ）
A、a处为拉力，b处为拉力 B、a处为拉力，b处为推力 C、a处为推力，b处为拉力 D、a处为推力，b处为推力
分析：答案A是正确的，只要小球在最高点b的速度
a 图 4
O b 大
于gL ，其中L是杆的长；答案B也是正确的，此时小球的速度有0＜v＜gL ；答案C、D肯定是错误的，因为小球在最低点时，杆对小球一定是拉力。
例2 长度为L＝0.5m的轻质细杆OA，A端有一质量为m＝3.0kg的小球，如图5所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通最高点时小球的速率是2.0m／s，g取10m／s2，则此时细
A 过
m L O 杆
OA受到 （ ）
A、6.0N的拉力 C、24N的拉力
B、6.0N的压力 D、24N的压力
图 5
解法：小球在A点的速度大于gL 时，杆受到拉力，小于gL 时，杆受压力。
V0=gL ＝10×0.5 m／s＝5 m／s
由于v＝2.0 m／s＜5 m／s，我们知道：过最高点时，球对细杆产生压力。 小球受重力mg和细杆的支持力N v2由牛顿第二定律 mg－N＝m L
v2
N＝mg－m ＝6.0N 故应选 B。
L
例3 （可以由学生板演）长L＝0.5m，质量可以忽略的的杆，其下端固定于O点，上端连接着一个质量m＝2kg的小球A，A绕O点做圆周运动（同图5），在A通过最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力：
①当A的速率v1＝1m／s时 ②当A的速率v2＝4m／s时
解法一：（同上例） 小球的速度大于5 m／s时受拉力，小于5 m／s时受压力。
①当v1＝1m／s＜5 m／s时，小球受向下的重力mg和向
上的支持力N
v2
由牛顿第二定律 mg－N＝m Lv2
N＝mg－m ＝16N
L 即杆受小球的压力16N。
②当v2＝4m／s＞5 m／s时，小球受向下的重力mg和
下的拉力F
mg mg N
向
F v2
由牛顿第二定律 mg＋F＝m Lv2
F＝m －mg＝44N
L即杆受小球的拉力44N。
解法二：小球在最高点时既可以受拉力也可以受支持力，因此杆受小球的作用
力也可以是拉力或者是压力。我们可不去做具体的判断而假设一个方向。如设杆竖直向下拉小球A，则小球的受力就是上面解法中的②的情形。
v2
由牛顿第二定律 mg＋F＝m
Lv2
得到 F＝m（ －g）
L
当v1＝1m／s时，F1＝－16N F1为负值，说明它的实际方向与所设的方
向相反，即小球受力应向上，为支持力。则杆应受压力。
当v2＝4m／s时，F2＝44N。 F2为正值，说明它的实际方向与所设的方
向相同，即小球受力就是向下的，是拉力。则杆也应受拉力。
2、在水平面内作圆周运动的临界问题
在水平面上做圆周运动的物体，当角速度ω变化时，物体有远离或向着圆心运动的（半径有变化）趋势。这时，要根据物体的受力情况，判断物体受某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。
例4 如图6所示，两绳系一质量为m＝0.1kg的小球，上面绳长L＝2m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与
B 45° C
A 30° 图 6
45°，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为3 rad／s时，上、下两绳拉力分别为多大？
解析：①当角速度ω很小时，AC和BC与轴的夹角都很小，BC并不张紧。当ω逐渐
增大到30°时，BC才被拉直（这是一个临界状态），但BC绳中的张力仍然为零。设这时的角速度为ω1，则有：
TACcos30°＝mg
TACsin30°＝mω1Lsin30°
将已知条件代入上式解得 ω1＝2.4 rad／s
②当角速度ω继续增大时TAC减小，TBC增大。设角速度达到ω2时，TAC＝0（这又是一个临界状态），则有： TBCcos45°＝mg
TBCsin45°＝mω22Lsin30°
将已知条件代入上式解得 ω2＝3.16 rad／s
所以 当ω满足 2.4 rad／s≤ω≤3.16 rad／s，AC、BC两绳始终张紧。 本题所给条件 ω＝3 rad／s，此时两绳拉力TAC 、TBC都存在。
TACsin30°＋TBCsin45°＝mω2Lsin30° TACcos30°＋TBCcos45°＝mg
将数据代入上面两式解得 TAC＝0.27N， TBC＝1.09N 注意：解题时注意圆心的位置（半径的大小）。
如果ω＜2.4 rad／s时，TBC＝0，AC与轴的夹角小于30°。 如果ω＞3.16rad／s时，TAC＝0，BC与轴的夹角大于45°。
例5 如图7所示，细绳一端系着质量M＝0.6kg的物体，静止在水平肌，另一端通过光滑的小孔吊着质量m＝0.3kg的物体，M的中与圆孔距离为0.2m，并知M和水平面的最大静摩擦
m 图 7
M 2
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（高一物理）第06章第03节向心力应用教案04 人教版
