1 从位移、速度、力到向量
[核心必知]
1．位移、速度和力
位移、速度和力这些物理量都是既有大小，又有方向的量，在物理中称为“矢量”，它们和长度、面积、质量等只有大小的量是不同的．
2．向量的概念
(1)向量的定义：在数学中，把既有大小，又有方向的量统称为向量． (2)向量的表示法
①有向线段：具有方向和长度的线段叫作有向线段． ②向量的表示法
(ⅰ)几何表示法：用有向线段表示，若有向线段的起点为A，终点为B，则该有向线段记作：
(ⅱ)字母表示法：用黑体小写字母a，b，c，…表示，书写用(3)向量的模(长度) 向量
(或a)的大小，称为向量
(或a)的长度，也叫模，记作|
|(或|a|)．
表示．
(4)与向量有关的概念 零向量 单位向量 自由向量 相等向量 平行(共如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或线) 共线．a与b平行或共线，记作a∥b．零向量与任一向量平行 向量
长度为零的向量称为零向量，记作0 与向量a同方向，且长度为单位1的向量，叫作a方向上的单位向量，记作a0 由大小和方向确定，而与起点位置无关的向量称为自由向量 长度相等且方向相同的向量，叫作相等向量．向量a与b相等，记作a＝b [问题思考]
1．有向线段就是向量，对吗？
提示：不对．有向线段的起点、终点是确定的，而向量与起点无关，可以自由平移，它可以用有向线段表示，但不能说有向线段就是向量．
2．相等向量的起点相同，对吗？
提示：不对．相等向量是指长度相等且方向相同的向量．所以，两个向量只要长度相等，方向相同，即是相等的向量，与起点的位置无关．
讲一讲
1．判断给出下列命题是否正确，并说明理由． (1)若|a|>|b|，则a>b； (2)若|a|＝|b|，则a＝b；
[尝试解答] (1)不正确．向量的模是一个非负实数，可以比较大小，但向量是有方向的量，方向是不能比较大小的，所以，向量只有相等与不相等的关系．
(2)不正确．两向量相等，必须长度相等，且方向相同，所以仅模相等，并不一定是相等的向量；
1．对向量有关概念的理解要严谨、准确，特别注意向量不同于数量，它既有大小，又有方向，而方向不能比较大小，所以任给两个向量都不能比较大小．
2.对于两个向量，只要方向相同或相反，一定是共线向量． 3．零向量是特殊的向量，解题时一定要注意其方向的任意性． 练一练 1．给出下列命题 (1)若|a|＝0，则a＝0； (2)若a＝b，则|a|＝|b|；
(3)向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反； (4)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； (5)两个有共同终点的向量，一定是共线向量； 其中正确命题的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选B (1)不正确．零向量与数字0是两个不同的概念，零向量是一个向量，而数字0是一个实数，没有等量关系；
(2)正确．两向量相等，其长度必然相等；
(3)不正确．若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；
(4)正确．相等的向量，长度相等且方向相同，若起点相同，则终点必相同； (5)不正确．终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反．
讲一讲
2．小李离家从A点出发向东走2 km到达B点，然后从B点沿南偏西60°走4 km，到达C点，又改变方向向西走2 km到达D点．
(2)求小李到达D点时与A点的距离．
即小李到达D点时离A点4 km.
1．用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据模的大小确定向量的终点． 2．确定向量的长度或方向时，需要用平面几何的知识，如直角三角形的解法、平行四边形的性质等．
练一练
2. 中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如下图所示，在中国象棋的半个棋盘(4×8个矩形中，每个小方格都是单位正方形)中，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量
表示马走了“一步”，试在图中画出马在B、C处走了一步的所有情况．
解：如图，以点C为起点作向量(共8个)，以点B为起点作向量(共3个)．
讲一讲
3．如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED、OCFB都是正方形．在图中所示的向量中：
(1)分别写出与(2)写出与
相等的向量；
共线的向量．
1．在平面图形中找相等向量、共线向量时，首先要注意分析平面图形中相等、平行关系，同时注意线段的平行和相等与向量平行和相等的区别，充分利用平行四边形的性质．
2．寻求相等向量，抓住长度相等，方向相同两个要素；寻求共线向量，抓住方向相同或相反的一个要素．
练一练
3. 如右图，四边形ABCD、CEFG、CGHD都是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是( )
2017-2018学年高中数学第二章平面向量1从位移、速度、力到向量教学案北师大版必修4
