§3.1 导数的概念及运算
最新考纲 1.了解导数概念的实际背景． 2.通过函数图象直观理解导数的几何意义． 3.能根据导数定义求函数y＝c(c为常数)，y123＝x，y＝x，y＝x，y＝，y＝x的导数． x4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数. 导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查；导数的几何意义常与解析几何中的直线交汇考查；题型为选择题或解答题的第(1)问，低档难度. 考情考向分析
1．导数与导函数的概念
(1)当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数
y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常
用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝lim错误!＝错误!错误!.
x1→x0
(2)如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝Δlimx→0错误!，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数．
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜
基本初等函数 率k，即k＝f′(x0)．
3．基本初等函数的导数公式
导函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α为实数) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f′(x)＝0 f′(x)＝αxα－1 f′(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ex f(x)＝ax(a>0，a≠1) f(x)＝ln x f(x)＝logax(a>0，a≠1)
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)[错误!]′＝错误!(g(x)≠0)． 5．复合函数的导数
f′(x)＝ex f′(x)＝axln a f′(x)＝ f′(x)＝1 xln a1x一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，这样y可以表示成x的函数，我们称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数，记作y＝f(φ(x))．其中u为中间变量．复合函数y＝f(φ(x))的导数为yx′＝[f(φ(x))]′＝f′(u)φ′(x)． 知识拓展
1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．
3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．( × ) (2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．( × )
(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) (4)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x．( × ) 题组二 教材改编
2．若f(x)＝x·e，则f′(1)＝. 答案 2e
解析 ∵f′(x)＝e＋xe，∴f′(1)＝2e.
xxx3．曲线y＝1－
2
在点(－1，－1)处的切线方程为． x＋2
答案 2x－y＋1＝0
解析 ∵y′＝错误!，∴当x＝－1时，y′＝2. 故所求切线方程为2x－y＋1＝0. 题组三 易错自纠
4．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图像，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图像可能是( )
答案 D
解析 由y＝f′(x)的图像知，y＝f′(x)在(0，＋∞)上是减少的，说明函数y＝f(x)的切线
的斜率在(0，＋∞)上也是减少的，故可排除A，C.
又由图像知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图像在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图像在
x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.
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5．有一机器人的运动方程为s＝t＋(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬
t
A.
时速度为( )
19171513 B. C. D.4444
答案 D
?π??π?6．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝f′??sin x＋cos x，则f′??＝.
?2??4?
答案 －2
?π?解析 因为f(x)＝f′??sin x＋cos x，
?2?
?π?所以f′(x)＝f′??cos x－sin x，?2?
2019届高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算学案理北师大版
