课时作业26 正弦定理和余弦定理的应用
一、选择题
1．如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( D )
A．北偏东10° C．南偏东80°
B．北偏西10° D．南偏西80°
解析：由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.
2．一名学生在河岸上紧靠河边笔直行走，某时刻测得河对岸靠近河边处的参照物与学生前进方向成30°角，前进200 m后，测得该参照物与前进方向成75°角，则河的宽度为( A )
A．50(3＋1) m C．502 m
B．100(3＋1) m D．1002 m
解析：如图所示，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，AB＝200 m，由2＋6200×sin30°
正弦定理，得BC＝＝1002(m)，所以河的宽度为BCsin75°＝1002×＝
sin45°450(3＋1)(m)．
3．为测出所住小区的面积，某人进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积是( D )
3＋6A． km2
43－6B． km2
46＋3C． km2
46－3D． km2
4
解析：连接AC，根据余弦定理可得AC＝3 km，故△ABC为直角三角形．且∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，故△ADC为等腰三角形，设AD＝DC＝x km，根据余弦定理得x2＋x2＋3x2＝3，即x2＝
3111
＝3×(2－3)，所以所求的面积为×1×3＋×3×(2－3)×＝
2222＋3
23＋6－336－3
＝(km2)．
44
4．(2024·四平质检)在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边且∠A＝60°，若S△ABC＝
33
且2sinB＝3sinC，则△ABC的周长等于( A ) 2
B．12 D．5＋27
332
A．5＋7 C．10＋7
解析：在△ABC中，∠A＝60°.∵2sinB＝3sinC，∴由正弦定理可得2b＝3c，再由S△ABC＝
1＝bc·sinA，可得bc＝6，∴b＝3，c＝2.由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc·cosA＝7，∴a＝7，2故△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋7，故选A．
5．(2024·安徽联考)如图，在△ABC中，BD·sinB＝CD·sinC，BD＝2DC＝22，AD＝2，则△ABC的面积为( B )
33A．
2C．33
37B．
2D．37
解析：过点D分别作AB和AC的垂线，垂足分别为E，F.由BD·sinB＝CD·sinC得DE8＋4－AB2ABBD＝DF，则AD为∠BAC的平分线，∴＝＝2，又cos∠ADB＋cos∠ADC＝0，即
ACDC2×2×222＋4－AC2
＝－，解得AC＝2.则AB＝4.
2×2×2
42＋22－?32?21
在△ABC中，cos∠BAC＝＝，
82×4×237137
∴sin∠BAC＝，∴S△ABC＝AB·AC·sin∠BAC＝.
822
6．(2024·安徽名校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bc＝1，b＋2ccosA＝0，则当角B取得最大值时，△ABC的周长为( A )
A．2＋3 B．2＋2 C．3 D．3＋2
解析：由题及正弦定理可得，sinB＋2sinCcosA＝0，即sin(A＋C)＋2sinCcosA＝0，得b
sinAcosC＝－3sinCcosA，即tanA＝－3tanC．又cosA＝－<0，所以A为钝角，于是tanC>0.
2c从而tanB＝－tan(A＋C)＝－
2tanC21＝＝，由基本不等式，得
1tanC1－tanAtanC1＋3tan2C＋3tanCtanCtanA＋tanC
＋3tanC≥2
13
×3tanC＝23，当且仅当tanC＝时等号成立，此时角B取得最大值，tanC33
，tanA＝－3，即b＝c，A＝120°，又bc＝1，所以b＝c＝1，a＝3，3
且tanB＝tanC＝
故△ABC的周长为2＋3.故选A．
二、填空题
7．如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于156.
解析：在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°. BCCD
由正弦定理得＝，
sin30°sin135°所以BC＝152. 在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝152×3＝156. π
8．如图所示，在△ABC中，C＝，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E
3为垂足，若DE＝22，则cosA＝6. 4
BC
解析：∵AD＝DB，∴∠A＝∠ABD，∠BDC＝2∠A．设AD＝BD＝x，∴在△BCD中，sin∠CDB＝
BD4x
，可得＝.① sinCsin2Aπ
sin3
EDAD22x
在△AED中，＝，可得＝.②
sinAsin∠AEDsinA122
sinA46
∴联立①②可得＝，解得cosA＝.
2sinAcosA43
2
→→
9．在△ABC中，已知BC＝2，AB·AC＝2，则△ABC面积的最大值是3. →→→→→→→→
解析：由BC＝AC－AB，得BC2＝(AC－AB)2，设|AB|＝c，|AC|＝b，则b2＋c2＝8，又因24→→
为AB·AC＝bc·cosA＝2，所以cosA＝，所以sin2A＝1－，设△ABC的面积为S，则S22bc?bc?b2＋c211
＝(bc)2sin2A＝(b2c2－4)，因为bc≤＝4，所以S2≤3(当且仅当b＝c＝2时取等号)，442所以S≤3.所以△ABC面积的最大值是3. 10．(2024·洛阳统考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c3115成等比数列，且tanB＝，则＋的值是. 4tanAtanC3解析：∵a，b，c成等比数列，
∴b2＝ac，由正弦定理得sin2B＝sinAsinC， 11cosAcosC
∴＋＝＋ tanAtanCsinAsinC＝5＝. 3
三、解答题
11．在△ABC中，AB＝6，AC＝42. 22
(1)若sinB＝，求△ABC的面积；
3→→
(2)若BD＝2DC，AD＝32，求BC的长．
sinCcosA＋cosCsinAsin?C＋A?sinB13311
＝＝＝，∵tanB＝，∴sinB＝，∴＋sinAsinCsinAsinCsinAsinCsinB45tanAtanC
426
解：(1)由正弦定理得＝，所以sinC＝1，
22sinC3π
因为0 2(2)设CD＝x，则BD＝2x， ?32?2＋?2x?2－62?32?2＋x2－?42?2 所以＝－， 2×32×2x2×32x解得x＝ 69 ，所以BC＝3DC＝3x＝69. 3 1 62－?42?2＝2，所以S△ABC＝×2×42＝42. 2 12．(2024·昆明质检)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2(c－acosB)＝3b. (1)求角A； (2)若a＝2，求△ABC面积的取值范围． 解：(1)由2(c－acosB)＝3b及正弦定理得2(sinC－sinAcosB)＝3sinB，所以2sin(A＋B)－2sinAcosB＝3sinB，即2cosAsinB＝3sinB，因为sinB≠0，所以cosA＝π所以A＝. 6 11 (2)因为a＝2，所以正弦定理得b＝4sinB，c＝4sinC，所以S△ABC＝bcsinA＝bc，所以S 24 △ABC＝4sinBsinC，因为 3 ，又0 55π π－B?， C＝π－(A＋B)＝－B，所以sinC＝sin??6?6 5π13 －B?＝4sinB?cosB＋sinB?， 所以S△ABC＝4sinBsin??6?2?2?即S△ABC＝2sinBcosB＋23sin2B＝sin2B－3cos2B＋3 π 2B－?＋3. ＝2sin?3?? 5πππ4π 因为0 6333所以－ π3 2B－?≤1，所以0 即△ABC面积的取值范围为(0,2＋3]． 13．线段的黄金分割点定义：若点C在线段AB上，且满足AC2＝BC·AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．在△ABC中，AB＝AC，A＝36°，若角B的平分线交边AC于点D，则点D为边AC的黄金分割点．利用上述结论，可以求出cos36°＝( B )
2024届高考数学一轮总复习课时作业26正弦定理和余弦定理的应用含解析苏教版
