配方法及其应用归纳总结
资料编号:20190729
一、配方法
对一个多项式进行恒等变形,使之出现完全平方式,并化成平方的形式,叫做配方,它是完全平方公式的逆用.
配方时主要用到下面两个公式: （1）a2?2ab?b2??a?b?;
2（2）a2?2ab?b2??a?b?.
2重要结论:
1?1?（1）x?2?2??x??;
xx??221?a?b?2??b?c?2??c?a?2; 21222（3）a2?b2?c2?ab?bc?ca??a?b???b?c???c?a?.
2（2）a2?b2?c2?ab?bc?ca?????例1.证明结论（2）.
1?2a2?2b2?2c2?2ab?2bc?2ca? 21 ???a2?2ab?b2???b2?2bc?c2???c2?2ca?a2??
21222 ??a?b???b?c???c?a?.
2证明:a2?b2?c2?ab?bc?ca???二、配方法的应用
配方法是一种很重要的数学方法,有着广泛的应用.常用于: （1）求字母的值; （2）证明字母相等; （3）解一元二次方程; （4）证明代数式的值非负; （5）比较大小; （6）求函数的最值. 三、配方法用于求字母的值
例2. 已知a2?b2?4a?2b?5?0,则a?_________,b?_________.
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解:∵a2?b2?4a?2b?5?0 ∴?a2?4a?4???b2?2b?1??0 ∴?a?2???b?1??0
22∵?a?2?≥0,?b?1?≥0
22∴a?2?0,b?1?0 ∴a??2,b?1.
说明:配方法常和非负数的性质结合用于求字母的值,注意过程书写的规范. 例3. 已知a2?b2?1?ab?a?b,求3a?4b的值. 解:∵a2?b2?1?ab?a?b ∴a2?b2?1?ab?a?b?0 ∴2a2?2b2?2?2ab?2a?2b?0
∴?a2?2ab?b2???a2?2a?1???b2?2b?1??0 ∴?a?b???a?1???b?1??0
222∵?a?b?≥0,?a?1?≥0,?b?1?≥0
222∴a?b?0,a?1?0,b?1?0 ∴a?b?1
∴3a?4b?3?4??1.
习题1. 已知x2y2?x2?4xy?13?6x,则x?_________,y?_________. 习题2. 已知x2?y2?z2?2x?4y?6z?14?0,则x?y?z?_________. 习题3. 已知a、b、c满足a2?2b?7,b2?2c??1,c2?6a??17,求a?b?c的值.
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四、配方法用于证明字母相等
例4. 已知a、b、c是△ABC的三边,且满足a2?b2?c2?ab?bc?ca?0,判断这个三角形的形状,并说明理由. 解:△ABC是等边三角形.
理由如下:∵a2?b2?c2?ab?bc?ca?0 ∴2a2?2b2?2c2?2ab?2bc?2ca?0
∴?a2?2ab?b2???b2?2bc?c2???c2?2ca?a2??0 ∴?a?b???b?c???c?a??0
222∵?a?b?≥0,?b?c?≥0,?c?a?≥0
222∴a?b?0,b?c?0,c?a?0 ∴a?b?c
∵a、b、c是△ABC的三边 ∴△ABC是等边三角形.
习题4. 已知3?a2?b2?c2???a?b?c?,求证:a?b?c.
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五、配方法用于解一元二次方程
用配方法解一元二次方程ax2?bx?c?0?a?0?共分六步:一移、二化、三配、四开、五转、六解.
（1）一移 把常数项移到方程的右边,注意变号;
ax2?bx??c
（2）二化 在方程的左右两边同时除以二次项系数a,化二次项系数为1;
x2?bcx?? aa（3）三配 即配方,把方程的左边配成完全平方的形式,需要在方程的左右两边同时加上一
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