§性质定理总结:
一、线性相关的判别:
1、?1,?2,??m线性相关?存在不全为零的数k1,k2,?,km,使得
k1?1?k2?2?Lkm?m?0.
2、?1线性相关? ?1?0.
3、?1,?2线性相关? ?1与?2的对应分量成比例.
4、?1,?2,??m线性相关?其中至少有一个向量能用其余向量线性表示. 5、n个n维向量线性相关?它们构成的行列式等于零. 6、?1,?2,??m线性相关 ??1,?2,??m的秩小于m. 7、对调坐标不改变向量组的线性相关性. 8、部分相关?整体相关.
9、m个n维 (m>n) 向量线性相关.
二、线性无关的判别:
1、?1,?2,??m线性无关?如果k1?1?k2?2?Lkm?m?0,则有
k1?k2???km?0.
2、整体无关?部分无关. 3、无关则加长无关
三、线性相关的性质:
?1,?2,??m线性无关,?1,?2,L?m,?线性相关??可由?1,?2,??m线性表 示,且表示法唯一. 四、线性无关的性质:
1、若向量组Ⅰ能由向量组Ⅱ线性表示,且向量组Ⅰ线性无关,则Ⅰ的元素个数≤Ⅱ的元素个数.
2、等价线性无关向量组的向量个数相同.
五、向量组的秩的性质:
1、矩阵A的秩等于A的行(列)向量组的秩.
A的不等于零的子式对应于A的行(列)向量组的线性无关组; A的行(列)向量组的线性无关组对应于A的不等于零的子式. 2、若向量组Ⅰ能由向量组Ⅱ线性表示,则Ⅰ的秩≤Ⅱ的秩. 3、等价向量组的秩相同.
六、矩阵的初等行(列)变换不改变列(行)向量组的线性关系.
线性相关和线性无关的结论
§性质定理总结:一、线性相关的判别:1、?1,?2,??m线性相关?存在不全为零的数k1,k2,?,km,使得k1?1?k2?2?Lkm?m?0.2、?1线性相关??1?0.3、?1,?2线性相关??1与?2的对应分量成比例.4、?1,?2,??m线性相关?其中至少有一个向量能用其余向量线性表示
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