中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算—知识讲解（基础）
【考纲要求】
1．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；
2．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、正多边形和圆 1、正多边形的有关概念：
(1) 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形. (2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心. (3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径.
(4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径） (5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角. 2、正多边形与圆的关系：
(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.
(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.
（3）把圆分成n(n≥3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.
（4）任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 3、正多边形性质：
(1)任何正多边形都有一个外接圆. (2) 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．当边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
1
(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
（4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 要点诠释：
360?（1）正n边形的有n个相等的外角，而正n边形的外角和为360度，所以正n边形每个外角的度数是；
n所以正n边形的中心角等于它的外角.
（2）边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长（或半径、边心距）的比.面积比等于它们边长（或半径、边心距）平方的比.
考点二、圆中有关计算 1．圆中有关计算 圆的面积公式： 圆心角为
，周长
. .
、半径为R的弧长
圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.
弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.
圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为面积为
.
，全面积为
，侧面积为
，全
圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为
，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有
要点诠释：
.
(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即
；
(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. (3)扇形面积公式类似，可类比记忆；
，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式
有点
2
(4)扇形两个面积公式之间的联系：
【典型例题】
.
类型一、正多边形有关计算
1．（2015?镇江）图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．
（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于 ． 【思路点拨】
（1）作AE的垂直平分线交⊙O于C，G，作∠AOG，∠EOG的角平分线，分别交⊙O于H，F，反向延长 FO，HO，分别交⊙O于D，B顺次连接A，B，C，D，E，F，G，H，八边形ABCDEFGH即为所求； （2）由八边形ABCDEFGH是正八边形，求得∠AOD=
3=135°得到
的长=
，设这
个圆锥底面圆的半径为R，根据圆的周长的公式即可求得结论． 【答案与解析】
（1）如图所示，八边形ABCDEFGH即为所求，
（2）∵八边形ABCDEFGH是正八边形， ∴∠AOD=∵OA=5， ∴
的长=
，
3=135°，
设这个圆锥底面圆的半径为R， ∴2πR=∴R=
，
．
，即这个圆锥底面圆的半径为
．
故答案为：
3
【总结升华】
本题考查了尺规作图，圆内接八边形的性质，弧长的计算，圆的周长公式的应用，会求八边形的内角的度数是解题的关键． 举一反三：
【变式1】如图是三根外径均为1米的圆形钢管堆积图和主视图，则其最高点与地面的距离是______米．
【答案】1?3. 23， 2 解析：如图，以三个圆心为顶点等边三角形O1O2O3的高O1C＝
所以AB＝AO1+O1C+BC＝
1313???1?． 2222【变式2】同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长的比是__________.
1 【答案】3：2：【变式3】一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为2，则扇形
纸板和圆形纸板的面积比是（ ）
4
A．5：4 B．5：2 C．
【答案】A.
：2 D．
：
【解析】解：如图1，连接OD， ∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=2， ∵∠AOB=45°， ∴OB=AB=2， 由勾股定理得：OD=
=2
，
∴扇形的面积是=π；
如图2，连接MB、MC，
∵四边形ABCD是⊙M的内接四边形，四边形ABCD是正方形， ∴∠BMC=90°，MB=MC， ∴∠MCB=∠MBC=45°， ∵BC=2，
∴MC=MB=，
∴⊙M的面积是π×（）2=2π，
∴扇形和圆形纸板的面积比是π÷（2π）=． 故选：A．
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