第六章 二次型
第一讲 二次型及其矩阵表示、标准形
教 学 目 的：通过本节的学习，使学生了解并掌握二次型的基本概念及其矩
阵表示方法.
教学重点与难点：二次型的矩阵表示 教学计划时数：2课时 教 学 过 程：
一、二次型的概念
定义1：含有n个变量x1,x2,?,xn的二次齐次函数
f(x1,x2,称为二次型.
2,xn)?a11x12?a22x2?2?annxn?2a12x1x2??2a1nx1xn?2a23x2x3??2a2nx2xn??2an?1,nxn?1xn （1）
附：1、当aij为复数时,f称为复二次型；当aij为实数时,f称为实二次型； 2、aij可以等于0，即（1）式中的各项都存在.
例1 f?x1,x2,x3??2x1?4x2?5x3?4x1x3；f?x1,x2,x3??x1x2?x1x3?x2x3
222都为实二次型；
二、二次线性与对称矩阵
在（1）式中,取aji?aij,则2aijxixj?aijxixj?ajixjxi,令x?(x1,x2,式可化为
,xn)T，则（1）
f(x1,x2,,xn)?(x1,x2,?a11?a,xn)?21???an1a12a22an2a1n??x1????a2n??x2??xTAx. ??????ann??xn?称f(x1,x2,,xn)?xTAx为二次型的矩阵形式，记为f(x)?xTAx，其中实对称矩阵A称
为该二次型的矩阵.二次型f称为实对称矩阵A的二次型.实对称矩阵A的秩称为二次型f的秩，即R(A)?R(f).
1
例2 二次型
22 f(x1,x2,x3)?3x12?2x1x2?2x1x3?x2?4x2x3?5x3对应的实对称矩阵为
???A?????????反之,实对称矩阵A?????????TxAx?(x1,x2,x3)?????312231221?1?21?1?231221?1?22??2??2?.
?5???2??2??2?所对应的二次型是
?5???2??2??x1???22??5x3?2x1x2?2x1x3?4x2x3. ?2??x2??3x12?x2????x3?5???三、合同矩阵
定义2：关系式
?x1?c11y1?c12y2??c1nyn?x?cy?cy??cy?22112222nn ?
???xn?cn1y1?cn2y2??cnnyn称为由变量x1,x2,?,xn到变量y1,y2,?,yn的线性变换，并简记为x?Cy.其中系数矩阵
c1n??c11c12??ccc21222n? C??????cccnn??n1n2称为线性变换矩阵.如果C可逆，则称该线性变换为可逆线性变换.
说明：对于一般二次型f(x)?xAx，问题：求可逆线性变换x?Cy，将二次型化为标准形.将x?Cy代入f(x)?xAx，得
TTf(x)?xTAx?(Cy)TA(Cy)?yT(CTAC)y
2
其中，yT(CTAC)y是关于y1,y2,?,yn的二次型，对应的矩阵为CTAC.
关于A与CTAC的关系，我们给出下列定义.
定义3：设A,B为两个n阶矩阵,如果存在n阶可逆矩阵C,使得CTAC?B,则称矩阵
A合同于矩阵B,或称A与B合同.
矩阵的合同的性质:
1、反身性 对任意方阵A,A与A合同?EAE?A. 2、对称性 若A与B合同，则B与A合同.
3、传递性 若A与B合同,且B与C合同则A与C合同.
4、若A为对称阵,则B?CAC也为对称阵,且R?B??R?A?，即合同的两个矩阵的
TT秩不变.
四、标准形的定义
22定义4：只含有平方项的二次型：f?b1y1?b2y2?2?bnyn,称为二次型的标准形(或
法式).
说明：二次型f(x1,x2,如果CTAC为对角矩阵
,xn)?xTAx在可逆线性变换x?Cy下,可化为yT(CTAC)y.
?b1?b2???B??????? ??bn?则f(x1,x2,22???bnyn, 且其标准形中的系,xn)?xTAx?就可化为标准形：b1y12?b2y2数恰好为对角矩阵??B的主对角线上的元素, 因此上面的问题归结为A能否合同于一个
对角矩阵的问题.
五、化二次型为标准形的方法
我们要研究用可逆线性变换x?Cy把二次型f(x1,x2,法.
,xn)?xTAx化为标准形的方
1.用配方法化二次型为标准形
定理1：任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形. 拉格朗日配方法的步骤是:
(1)若二次型f含有xi的平方项,则先把含有xi的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量进行同样过程直到所有变量都配成平方项为止,经过可逆线性变换,就得到标准形；
3
(2)若二次型中不含有平方项, 但是aij?0(i?j),则先作可逆线性变换
?xi?yi?yj??xj?yi?yj?(k?1,2,?xk?yk
,n 且 k?i,j)化二次型为含有平方项的二次型,然后再按(1)中方法配方.
定理2：对任一实对称矩阵A,存在可逆矩阵C,使B?CTAC为对角矩阵.即任一实对称矩阵都与一个对角矩阵合同.
222例3 化二次型 f?x1?2x2?5x3?2x1x2?2x1x3?6x2x3为标准形，并求所用的变换
矩阵.
222[解] f?x1?2x2?5x3?2x1x2?2x1x3?6x2x3
22?x12?2x1x2?2x1x3?2x2?5x3?6x2x3
2222??x1?x2?x3??x2?5x3?6x2x3 ?x3?2x2x3?2x222??x1?x2?x3??x2?4x2x?4x33
22??x1?x2?x3???x2?2x3?.
22?y1?x1?x2?x3,?x1?y1?y2?y3,??令 ?y2?x2?2x3, 即?x2?y2?2y3,或
?y?x, ?x3?y3,3?3?22则f化为标准形：f?y1，所用变换矩阵为 ?y2?x1??1?11??y1???????x?01?22?????y2?， ?x??001??y??3????3??1?11???C??01?2?,?C?1?0?.
?001???例4 化二次型 f?2x1x2?2x1x3?6x2x3为标准形, 并求所用的变换矩阵. [解] 由于所给二次型中不含平方项,所以令
?x1?y1?y2,?x1??110??y1?????????x2?y1?y2, 即?x2???1?10??y2? ?x?y, ?x??001??y?3?3?3????3?代入f?2x1x2?2x1x3?6x2x3中，可得
4
22 f?2y12?2y2?4y1y3?8y2y3?2y12?4y1y3?2y2?8y2y32 ?2?y1?y3??2y3?8y2y3?2y222 ?2?y1?y3??2?y2?2y3??6y3222
?z1?y1?y3,?y1?z1?z3??令 ?z2?y2?2y3, 即?y2?z2?2z3, 或
?z?y, ?y?z333?3??y1??101??z1???????y?012?2????z2?， ?y??001??z??3????3?222则f化为标准形： f?2z1，且变换矩阵为 ?2z2?6z3?110??101??113???????C??1?10??012???1?1?1?，?C??2?0?.
?001??001??001???????
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二次型及其矩阵表示
