全国高中数学联赛模拟试题（十）
第一试
一、选择题：（每小题6分,共36分）
1、设集合M={?2,0,1},N={1,2,3,4,5},映射f：M→N使对任意的x∈M,都有
x+f(x)+xf(x)是奇数,则这样的映射f的个数是 （A）45 （B）27 （C）15 （D）11 2、已知sin2?=a,cos2?=b,0＜?＜
①
????,给出tan????值的五个答案：
4?4?ba1?b1?a； ②； ③； ④； 1?a1?baba?b?1⑤． a?b?1其中正确的是：
（A）①②⑤ （B）②③④ （C）①④⑤ （D）③④⑤
3、若干个棱长为2、3、5的长方体,依相同方向拼成棱长为90的正方体,则
正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是 （A）64 （B）66 （C）68 （D）70
4、递增数列1,3,4,9,10,12,13,…,由一些正整数组成,它们或者是3的幂,或者
是若干个3的幂之和,则此数列的第100项为 （A）729 （B）972 （C）243 （D）981
?n?1?594m?1?C?C???Cm?5、C1（其中,[x]表示不超过x的最大整数）nnnn??4??的值为 （A）2ncosn? 4
（B）2nsinn? 41?n??（C）?2n?1?2ncos?
2?4?1?n??（D）?2n?1?2nsin?
2?4?6、一个五位的自然数abcde称为“凸”数,当且仅当它满足a＜b＜c,c＞d＞e
（如12430,13531等）,则在所有的五位数中“凸”数的个数是
（A）8568 （B）2142 （C）2139 （D）1134
二、填空题：（每小题9分,共54分）
x2y2??1上任意一点P,作椭圆的右准线的垂线PH1、过椭圆（H为垂足）,32并延长PH到Q,使得HQ=?PH（?≥1）．当点P在椭圆上运动时,点Q的
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轨迹的离心率的取值范围是 ．
2、已知异面直线a、b所成的角为60°,过空间一点P作与a、b都成角?（0
＜?＜90°）的直线l,则这样的直线l的条数是f(?)= ． 3、不等式
?1?4x21?2x?2?2x?9的解集为 ．
4、设复数z满足条件|z?i|=1,且z≠0,z≠2i,又复数?使得
??2iz为实数,??z?2i则复数??2的辐角主值的取值范围是 ． 5、设a1,a2,…,a2002均为正实数,且
1111?????,则a1a2…2?a12?a22?a20022a2002的最小值是 ．
6、在一个由十进制数字组成的数码中,如果它含有偶数个数字8,则称它为
“优选”数码（如12883,787480889等）,否则称它为“非优选”数码（如2348756,958288等）,则长度不超过n（n为自然数）的所有“优选”数码的个数之和为 ．
三、（20分）
已知数列{an}是首项为2,公比为（1） 用Sn表示Sn+1；
（2） 是否存在自然数c和k,使得
Sk?1?c＞2成立． Sk?c1的等比数列,且前n项和为Sn． 2四、（20分）
设异面直线a、b成60°角,它们的公垂线段为EF,且|EF|=2,线段AB
的长为4,两端点A、B分别在a、b上移动．求线段AB中点P的轨迹方程．
五、（20分）
已知定义在R+上的函数f(x)满足
（i）对于任意a、b∈R+,有f(ab)=f(a)+f(b)； （ii）当x＞1时,f(x)＜0； （iii）f(3)=?1．
现有两个集合A、B,其中集合A={(p,q)|f(p2+1)?f(5q)?2＞0,p、q∈R+},
p1)+=0,p、q∈R+}．试问是否存在p、q,使A?B??,q2集合B={(p,q)|f(说明理由．
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第二试
一、（50分）
如图,AM、AN是⊙O的切线,M、N是切点,L是劣弧MN上异于M、
N的点,过点A平行于MN的直线分别交ML、NL于点Q、P．若
S⊙O?2?3S△POQ,求证：∠POQ=60°．
M P
O L A N Q
二、（50分）
已知数列a1=20,a2=30,an+2=3an+1?an（n≥1）．求所有的正整数n,使得
1+5anan+1是完全平方数．
三、（50分）
设M为坐标平面上坐标为(p·2002,7p·2002)的点,其中p为素数．求
满足下列条件的直角三角形的个数：
（1） 三角形的三个顶点都是整点,而且M是直角顶点； （2） 三角形的内心是坐标原点．
参考答案
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