第一章 热力学的基本规律
1．1 试求理想气体的体胀系数?，压强系数?和等温压缩系数?T。 解：已知理想气体的物态方程为pV?nRT 由此得到 体胀系数??1??V?nR1?， ???V??T?ppVT1??P?nR1?? ??P??T?VpVT压强系数??等温压缩系数?T??1??V??1?nRT1 ?(?)?????V??p?T?V?p2p1.2试证明任何一种具有两个独立参量T,p的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数?及等温压缩系数kT，根据下述积分求得：
lnV??(?dT?kTdp)
如果??11，kT?，试求物态方程。
pT
解 以T,p为自变量，物质的物态方程为
V?V(T,p)
其全微分为
??V???V?dV??dT???dp (1) ??T?p??p??T全式除以V，有
dV1??V?1??V???dT???dp ?VV??T?pV??p?T
根据体胀系数?和等温压缩系数kT的定义，可将上式改写为
dV??dT?kTdp (2) V有
lnV??(?dT?kTdp) (3)
1
若??11，kT?，式(3)可表示为
pT11lnV??(dT?dp) (4)
Tp积分
pV?CT (5)
1.3测得一块铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为??4.85?10?5K?1和?T?7.8*10?7pn?1，?和?T可近似看作常量，今使铜块加热至10?C。问（1压强要增加多少才能使铜块体积不变？（2若压强增加，铜块的
体积改多少
??p???p?dV?解：（1）有dp?????dT知，当dV?0时，有
??V?T??T?V???p?dp?0??dT ?dT?p?dT??T???VT故 p2?p1???T?T2T1dT???T?T? ?T21即 ?p?p2?p1?分别设为xpn;?V，由定义得：
??T?T??622pn ?T21 x?T?4.858?10?4;?V?4.85?10?4?100?7.8?10?7
所以，?V?4.07?10?4
1.4 1mol理想气体，在27?C的恒温下发生膨胀，其压强由20pn准静态地降到1pn，求气体所做的功和所吸取的热量。
解 将气体的膨胀过程近似看作准静态过程。根据式(1.4.2)，在准静态等温过程中气体体积由VA膨胀到VB，外界对气体所做的功为
W???pdV??RT?VAVBVBVAVpdV??RTlnB??RTlnA VVApB气体所做的功是上式的负值，将题给数据代入，得
?W?RTln在等温过程中理想气体的内能不变，即
pA?8.31?300?ln20J?7.47?103J pB?U?0
根据热力学第一定律(式(1.5.3))，气体在过程中吸收的热量Q为
2
Q??W?7.47?103J
1.5在25?C下，压强在0至1000pn之间，测得水的体积为
V?(18.066?0.715?103p?0.046?10?6p2)cm3?mol?1
如果保持温度不变，将1mol的水从1pn加压至1000pn，求外界所做的功。 解 将题中给出的体积与压强关系记为
V?a?bp?cp2 (1)
由此易得
dV?(b?2cp)dp (2)
保持温度不变，将1mol的水由1pn加压至1000pn，外界所做的功为
W???pdV???VAVBVBVA2?1?p(b?2cp)dp???bp2?cp3?3?2?11000?33.1J?mol
在上述计算中我们已将过程近似看作准静态过程。
1.6在0?C和1pn下，空气的密度为1.29kg?m?3。空气的定压比热容cp?0.996?103J?kg?1?k?1，??1.41。今有27m3的空气，试计算：
(a)若维持体积不变，将空气由0?C加热至20?C所需的热量。 (b)若维持压强不变，将空气由0?C加热至20?C所需的热量。
(c)若容器有裂缝，外界压强为1pn，使空气由0?C缓慢地加热至20?C所需的热量。 解 (a)由题给空气密度可以算得27m3空气的质量m1为
m1?1.29?27kg?34.83kg
定容比热容可由所给定压比热容算出
0.996?103cV??J?kg-1k?1?0.706?103J?kg-1k?1
?1.41 维持体积不变，将空气由0?C加热至20?C所需热量QV为
cpQV?m1cV(T2?T1)?34.83?0.706?103?20J?4.920?105J
(b)维持压强不变，将空气由0?C加热至20?C所需热量Qp为
Qp?m1cp(T2?T1)?34.83?0.996?103?20J?6.938?105J
(c)若容器有裂缝，在加热过程中气体将从裂缝漏出，使容器内空气质量发生变化．根据理想气体的物
态方程
3
pV?mRT m?m?为空气的平均摩尔质量，在压强和体积不变的情形下，容器内气体的质量与温度成反比。以m1、T1表
示气体在初态的质量和温度，m表示温度为T时气体的质量，有
pV?所以在过程(c)中所需的热量Q为
m1mRT?RT1?mT?m1T1 m?m?TdT?m1T1cpln2 TT1Q?cp?m(T)dT?m1T1cp?T1T2T2T1将所给数据代入，得
Q?34.83?273?0.996?103ln293J?6.678?105J 2731.7抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入。当压强达到外界压强p0时将活门关上。试证明：小匣内的空气在没有与外界交换热量之前，它的内能U与原来在大气中的内能U0之差为U?U0?p0V0，其中V0是它原来在大气中的体积。若气体是理想气体，求它的温度和体积。
解 将冲入小匣的气体看作系统。系统冲入小匣后的内能U与其原来在大气中的内能U0由式(1.5.3)
U?U0?W?Q (1)
确定。
由于过程进行得很迅速，过程中系统与外界没有热量交换，Q?0。过程中外界对系统所做的功可以分为W1和W2两部分来考虑。一方面，大气将系统压入小匣，使其在大气中的体积由V0变为零。由于小匣很小，在将气体压入小匣的过程中大气压强p0可以认为没有变化，即过程是等压的(但不是准静态的)。过程中大气对系统所做的功为
W1??p0?V?p0V0
另一方面，小匣既抽为真空，系统在冲入小匣的过程中不受外界阻力，与外界也就没有功变换，则
W2?0
因此式(1)可表为
U?U0?p0V0 (2)
如果气体是理想气体，根据式(1.3.11)和(1.7.10)，有
p0V0?nRT0 (3)
U0?式中n是系统所含物质的量。代入式(2)即有
nRT0nRT ，U? (4) ??1??1 4
T??T0 (5)
活门是在系统的压强达到p0时关上的，所以气体在小匣内的压强也可看作p0，其物态方程为
p0V?nR?T0 (6)
与式(3)比较，知
V??V0 (7)
1.8满足PVn=C的过程称为多方过程，其中常数n名为多方指数。试证明，理想气体在多方过程中的热容量为Cn?n-?CV n-1??U?P?V??dU?PdV??dV?解法一： Cn?lim??????CV??P? ?T?0?TdTdT??n??n??n理想气体多方过程 P V = RT
P V n = C
?PdV?VdP?RdTR有 ??PdV??dT n?1nn?1?PV?ndV?VdP?0,nPdV?VdP?0R n?1?Cp?CV?R?另一方面，理想气体 ?Cp
?C???V所以 Cn?CV?所以得
Cn?n-?CV ， 证毕 n-1CndT?CVdT?pdV(dU?CVdT)
解法二：根据热力学第一定律，有
利用理想气体的物态方程，可将pVn?C可化为
TVn?1?C1 (1)
将上式微分，得
dV??将(2)代入(1)式，得
VdTRdT?? (2)
(n?1)T(n?1)pCn?CV?即得
R，由于R?Cp?CV?(??1)CV， n?15
(完整版)第一章热力学的基本规律课后作业及答案
