讲 授 内 容 第三十四讲 §6.4 隐函数存在定理 对方程F(x,y)?0而言，隐函数存在定理是：F(x,y)满足 备 注 3学时 注：定理的条件只是充分条件，而不是要条件． 10 F(x0,y0)?0, Fy?(x0,y0)?0； 20 F(x,y)及Fy?(x,y)在(x0,y0)的某邻域内连续， 则方程F(x,y)?0在(x0,y0)的邻域里确定了唯一的隐函数. 具体来说，即???0, ??0，及函数y?y(x)，满足： i) y0?y(x0)； ii) F?x,y(x)??0, y(x)?y0??, x?U(x0,?) 其中 U(x0,?)??x||x-x0|???； iii) 满足条件i)、ii)的函数y(x)是唯一的； iv) y?y(x)在U(x0,?)内连续． 若附加条件：Fx?(x,y)在(x0,y0)的邻域内连续， F?(x,y)dy??x则y?(x)存在， 且y?(x)?． ?dxFy(x,y)偏导数是两个特殊方向的方向导数 梯度方向是函数变化最剧烈的方向，或个方向导数的最大值就是梯度的模 书P100 EX5 外法线方向 对一元函数 若f?(x)?0,x?I 则f(x)?C,x?I 例1 给定方程 x2?y?sin(xy)?0 (A) 1) 说明在点(0,0)的充分小的邻域内，此方程确定唯一注：本结论可推的、连续的函数y?y(x)，使得y(0)?0； 2) 讨论函数y(x)在x?0附近的可微性； 3) 讨论函数y(x)在x?0附近的升降性（单调性）； 4) 在点(0,0)的充分小的邻域内，此方程是否确定唯一的单值函数x?x(y)，使得x(0)?0？为什么？ 解 1) F(x,y)?x2?y?sin(xy) 广到图 n中． 10 F(0,0)?0，Fy?(x,y)?1?xcos(xy), Fy?(0,0)?1； 20 显然F(x,y)及Fy?(x,y)在(0,0)的邻域内连续， 由隐函数存在定理，F(x,y)?0在点(0,0)的某邻域内存在唯一隐函数y?y(x)，连续，y(0)?0． 2) Fx?(x,y)?2x?ycos(xy)也在(0,0)的邻域内连续， 所以函数y?y(x)的导数存在，且 3) 为讨论y(x)在x?0附近的升降性，考虑y?(x)的符号， 由(B)得出，当(x,y)充分接近(0,0)时，y?(x)的符号取决于分子??2x?ycos(xy)?的符号． y(0)?0，由(B)知 y?(0)?0， ? y(x)?o(x) （当x?0时） 于是 ycos(xy)?|y|?o(x) ? y?(x)的符号与?2x的符号相同． x?0时，y?(x)?0, y(x)x?0时，y?(x)?0, y(x)， ． 可见，y(x)在x?0处取（严格）极大． 4) （用隐函数存在定理不能判定在(0,0)的邻域内是否存在唯一的单值函数x?x(y)，使得x(0)?0， Fx?(0,0)?0） 由3)知，y(x)在x?0处取（严格）极大，故在(0,0)的充分小 的邻域内，当y?0时，至少有二个x与y对应．而当y?0时，无x与y对应，使得F(x,y)?0． 所以不能确定x?x(y)，使得x(0)?0． §6.5 方向导数与梯度 一、方向导数的计算 1) 利用定义 函数y?f(x) (x?量l?(l1,l2,n)在点P?(x1,x2,,xn)处沿单位向,ln)方向的方向导数定义为 2) 利用偏导数与方向导数的关系 若f(x)在点P?(x1,x2,方向l?(cos?1,cos?2,,xn)处可微，则f在P点沿任意,cos?n)的方向导数存在，且 3) 利用梯度与方向导数的关系 若f(x)在点P?(x1,x2,方向l?(cos?1,cos?2,,xn)处可微，则f在P点沿任意,cos?n)的方向导数存在，且 其中?表示gradf(P)与l的夹角． 例1 设 试证：f(x,y)在(0,0)点沿任意方向的方向导数存在，但在(0,0)处不可微． 证 取任意方向l?(cos?,sin?) 则 f(P?tl)?f(0?tcos?,0?tsin?)?f(tcos?,tsin?) 于是 ?f?l?df(tcos?,tsin?)dt(0,0)t?0 可见在(0,0)处沿任意方向的方向导数存在． 不可微性是课本上的例题． ?x2y22, x?y?0 ?42f(x,y)?例2 证明： ?x?y?0, x2?y2=0 ?在(0,0)处沿任意方向l?(cos?,sin?)的方向导数为 证 f(P?tl)?f(0?tcos?,0?tsin?)?f(tcos?,tsin?) 若sin??0，f(tcos?,0)?0，总之，有 df(P?tl)?0． dt?cos2?, sin??0 ?f(0,0)?． ??sin??l?0, sin??0 ?x2y2z2例3 求f(x,y,z)?x?y?z在椭球面2?2?2?1上abc222的点P(x0,y0,z0)处的外法线方向的导数． ?2x2y2z?解 法向量 n??20,20,20? bc??a单位法向量 n0?11?2x02y02z0?n??2,2,2? bc?|n||n|?a222?x0y0z0其中 |n|?24?4?4?2?． abc因此， ?222?x0?y0z0 ?2?2?2?1?． 222bcx0y0z0?a???a4b4c42例4 设y??(x)是区间a?x?b上的可微函数，在xOy直角坐标平面内，其图像为曲线?．若二元函数f(x,y)在包含曲线?的某区域上连续可微（即具有连续的偏导数）．且在曲线?上恒为0．求证：f(x,y)在曲线?上任一给定点处沿该曲线切线方向的导数等于0． 证 设l?(cos?,sin?)是曲线?上任意点P处的单位切向量，则 可见只要找出 cos?,sin?，便得所证结果． 由已知条件 f?x,?(x)??0 (x,y)?? 两边关于x求导 fx?(x,y)?fy?(x,y)??(x)?0 (x,y)?? 从而 cos??所以 1?1?tan?2?fy??fx??fy?22 ?f?fx?(x,y)cos??fy?(x,y)sin? ?l ??fx?fy?fx??fy?222?fx?fy??fx??fy?22?0． 例5 设l1,l2为f(x,y)在2中的两个线性无关的单位向量．函数 ?f?0, i?1,2． ?li中可微．方向导数试证：f(x,y)?常数． 证 记l1?(a11,a12), l2?(a21,a22)，因为?f?0, i?1,2 ?li l1,l2线性无关，? a11a12a21a22?0 上述方程组只有零解：fx??fy??0． 记P(x,y)?2, P(x0,y0)?2，由微分中值定理 故 f(x,y)?常数． 二、梯度的计算 梯度的计算（以3为例），主要使用如下公式： 其中?为Hamilton算符，i,j,k分别表示x,y,z轴上的单位向量． 注：梯度是向量，因此其运算，要遵从向量的运算法则． 例6 设u?f(x,y)，x?rcos?, y?rsin?， 求证： ?u??u1?ur0??0． ?rr??其中r0,?0分别是径向与圆周方向的单位向量．（如图） 证 ?u??u?ui?j． ?x?y?u在r0方向的投影：?ur0 （r0方向的分量） ?u在?0方向的投影：?u?0 （?0方向的分量） 按向量的分解原理： y?0r0Ox
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