数学（理）试卷
一．单选题（共12小题，每小题5分，共60分） 1．设命题p:?n?N,n?2,则?p为（ ）
2n?n?N,n?2 ?n?N,n?2 ?n?N,n?2 ?n?N,n?2 （A）（B）（C）（D）
2．设a,b为实数，则“a+b>0”是“ab>0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．等差数列{an}中满足a1?a5?10,a4?7，则数列{an}的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1?2,S3?12,则a6等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．4
5．已知等比数列{an}的a4?a7?2,a5a6??8,则a1?a10?（ ） A．7 B．5 C．-5 D．-7
6.已知向量a?(1,0,?1)，则下列向量中与a成60夹角的是（ ）
0
2n2n2n2nA.(-1,1,0) B.(1,-1,0) C.(0,-1,1) D.(-1,0,1) 7.
设
?ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若
m?(a,b),n?(sinB,sinA),若m//n,则?ABC的形状为（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
8.等差数列{an}中，已知a1=1，公差不为0，若a2,a3,a6成等比数列，则{an} 的前6项和为( ) A．-24
9．若a?(1,?1,3),b?(?1,2,1),若a为直线l的方向向量，B.-3 C．3 D．8
b为平面?的方向向量，则l与?（ ）
A．l//? B．l??
C．l与?相交（但不垂直） D．l//?或l在?内
10．已知2a＋b＝1(a＞0，b＞0)，若不等式
21??m恒成立，则m的最大值＝( ) ab0A．10 B．9 C.8 D.7
11．在直三棱柱ABC-A1B1C1中若?BAC?90，AB?AC?AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角为（ ）
A.30 B.45 C.60 D.90
12．在?ABC角A,B,C的对边分别是a,b,c，已知b=c,a2=2b2(1-sinA),则A=（ ） A.30 B.45 C.60 D.135
0
0
0
0
0
0
0
0
二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．数列{an} 的前n项和a1?2,an?1?an?n?1,则{an}的通项公式an=_______________
?x?0?14.若，y满足约束条件?x?3y?4,，则z?4x?3y的最大值为_____．
?3x?y?4?15.
已
知
函
数
f(x)?x2?mx?1,若任意x?[m,m?1],都有f(x)?0成立，则实数m的取值范围为
____________.
16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，
B??6,C??4,则?ABC的面积为__________．
三．解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）如图，在平面四边形ABCD中，?ADC?90,?A?45,AB?2，BD?5,
00（1)求cos?ADB;(2)若DC?22,求BC的值。
A B D C 18. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为
a2
3sinA（1）求sinBsinC;(2)若6cosBcosC?1,a?3,求?ABC的面积。
19.（12分）等比数列?an?的前n项和为Sn,a1?1,a5?4a3
（1）求?an?的通项公式；
（2）若Sm?63,求m的值。
20（.12分）如图，在棱长为2的正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB1的中点为D，B1C?BC1?E.（1）求证：DE//平面AA1C1C；（2）求BC1与AB1所夹的角的正弦值。. 21
B1 A1 C1 E D B A
．（
12
分
）
设
C Sn为数列
{an}的前
n项和，
Sn?3n2?8n,?bn?是等差数列，且an?bn?bn?1， （1）求数列?bn?的通项公式；(an?1)n?1（2）若cn?,求数列?cn?的前n项和Tn. n(bn?2)
22．（12分）如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，
E,F分别是AA,CC的中点，AB?AD?1，AA?2. D1 C1 A1 B1 E D A B C 111(1)求证：平面B1C1E?平面ACD1;
(2)求直线AB1与平面ACD1所成角的正弦值。
理科数学答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D B C D B D A D B C B 二、填空题
n2?n?1 13.22（-，0） 14.___1__ 15. 16.3?1 2三、解答题
17.解：（1）如图，在?ABC中由正弦定理得2?22?ABBD?.............1分sin?ADBsinA?sin?ADB?ABsinA2?...........................................3分BD55由图知，00??ADB?900..................................................................4分23.............................................5分52（2）由图及（1）知?ADB??BDC?900,sin?ADB?............6分52?cos?BDC?sin?ADB?........................................................7分5?在?BDC中由余弦定理得?cos?ADB?1?sin2?ADB?2?25...........9分5?BC?5...................................................................................................................10分BC2?BD2?CD2?2BD?DC?cos?BDC?25?8-2?5?22?1a21a18.解：（1）?S?ABC?absinC??bsinC?..............2分23sinA23sinA1sinA12?sinBsinC???sinBsinC?..................................5分23sinA3321（2）由（1）得sinBsinC?，又?6cosBcosC?1?cosBcosC?.............6分3611?cosBcosC?sinBsinC??即cos(B?C)??.............................................8分22
11又?在?ABC中B?C???A??cosA??即cosA?....................9分22 a290?A?60..........................10分?S?ABC???23.........12分3sinA33?219.解：设等比数列的公比为q………………………….1分 则由a5=4a3得a1q4=4a1q2,即 q4=q2,…………..2分 解得 q1=0(舍去)，q2=2,q3=-2…………………….4分
?当q?2时an?2n?1.............5分当q??2时，an?(?2)...............6分n?1
a1(1?qm)1?2m（2）当q?2时，由Sm???63得m?6.........8分1?q1?2a1(1?qm)1?(?2)m当q??2时，由Sm???63得(?2)m??108,1?q1?(?2)该方程无实数解............................................................10分综上得m?6.............................12分
20.解：（1）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形BCC1B1是正方形
20（.1）证明：?在正三棱柱ABC?A1B1C1中四边形BCC1B1是正方形，且B1C?BC1?E?E为B1C的中点。又?D为AB1的中点?DE//AC....................................2分又?DE?平面AA1C1C,AC?平面AA1C1C................................................4分?DE//平面AA1C1C......................................................................................6分（2）如图，取正?ABC边AB的中点O，连接CO，则CO?AB,?以O为坐标原点，建立空间直角坐标系。
广西壮族自治区象州县中学2024-2024学年高二12月月考数学（理）试卷（答案不全）
