5.3 平面向量的数量积
一、选择题
1．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( ) A．4 B．3 C．2
D．0
解析：由a∥b及a⊥c，得b⊥c， 则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0. 答案：D
2．若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－?
?a·a?b，则向量a与c的夹角为( )
??a·b?
πππ
A．0 B. C. D.
632解析 ∵a·c＝a·?a－?
2??
?a·a?b?
???a·b??
?a?a·b＝a2－a2＝0，
＝a·a－???a·b?
π
又a≠0，c≠0，∴a⊥c，∴〈a，c〉＝，故选D.
2
答案 D
rr3. 设向量a=（1.cos?）与b=（-1， 2cos?）垂直，则cos2?等于 （ ）
A
21 B C .0 D.-1 22rrrr22解析 Qa?b,?a?b?0,??1?2cos??0,?cos2??2cos??1?0.正确的是C.
答案C
4．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是( )． A．－4
B．4
C．－2
D．2
解析 设a与b的夹角为θ，∵a·b为向量b的模与向量a在向量b方向上的投影的乘积，
a·b2而cos θ＝＝－，
|a||b|3
?2?∴|a|cos θ＝6×?－?＝－4.
?3?
答案 A
5．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为( )． A.2－1
B．1
C.2
2
D．2
2
2
解析 由已知条件，向量a，b，c都是单位向量可以求出，a＝1，b＝1，c＝1，由a·b＝0，及(a－c)(b－c)≤0，可以知道，(a＋b)·c≥c＝1，因为|a＋b－c|＝a＋b＋c＋2a·b
1
2
2
2
2
2
－2a·c－2b·c，所以有|a＋b－c|＝3－2(a·c＋b·c)≤1， 故|a＋b－c|≤1. 答案 B
132
6．已知非零向量a、b满足|a|＝3|b|，若函数f(x)＝x＋|a|x＋2a·bx＋1在x∈R上
3有极值，则〈a，b〉的取值范围是( )
2
?π?A.?0，?
6??
C.?
?π?B.?0，?
3??
D.?
?π，π?
?
?62??π，π?
?
?6?
132
解析 ∵f(x)＝x＋|a|x＋2a·bx＋1在x∈R上有极值，∴f′(x)＝0有两不相等的实根，
3∵f′(x)＝x＋2|a|x＋2a·b，∴x＋2|a|x＋2a·b＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝4|a|
2
2
2
12|a|212a·b－8a·b＞0，即a·b＜|a|，∵cos〈a，b〉＝，|a|＝3|b|，∴cos〈a，b〉＜
2|a||b||a||b|＝
3
，∵0≤〈a，b〉≤π， 2
π
∴＜〈a，b〉≤π. 6答案 D
7．如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是( )．→→→→
→→→→→
→
→
→
A.P1P2·P1P3 B.P1P2·P1P4 C.P1P2·P1P5 D.P1P2·P1P6
2π解析 由于P1P2⊥P1P5，故其数量积是0，可排除C；P1P2与P1P6的夹角是，
3故其数量积小于零，可排除D；设正六边形的边长是a，
2
→→→→322
则P1P2·P1P3＝|P1P2||P1P3|cos 30°＝a，P1P2·P1P4＝|P1P2||P1P4|cos 60°＝a.
2答案 A 二、填空题
8．已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角是60°，则|a－3b|等于________．
222
解析 ∵|a－3b|＝a－6a·b＋9b＝10－6×cos60°＝7，∴|a－3b|＝7. 答案 7
rrrr9.已知向量a?(3,?2), a?(3m?1,4?m)，若a?b，则m的值为 ．
rrrr解析 Qa?b,?a?b?3(3m?1)?(?2)(4?m)?0,?m?1
→→→→
答案 1
10．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.
解析 设a与b夹角为θ，由题意知|a|＝1，|b|＝1，θ≠0且θ≠π.由a＋b与向量ka－b垂直，得
(a＋b)·(ka－b)＝0，即k|a|＋(k－1)|a||b|cos θ－|b|＝0，(k－1)(1＋cos θ)＝0. 又1＋cos θ≠0，∴k－1＝0，k＝1. 答案 1
2π
11．已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若a·b＝0，则实数
3
2
2
k的值为________．
解析 由题意知：a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0，即ke1＋e1e2－2ke1e2－2e2＝0，即k＋2π2π5cos－2kcos－2＝0, 化简可求得k＝. 3345答案
4
2
2
ruuuruuuuuur12．在等腰直角三角形ABC中，D是斜边BC的中点，如果AB的长为2，则(AB＋AC)·AD的值为________．
uuur2uuur2rruuur2uuuruuuruuuuuuruuur1uuu解析：|BC|＝|AB|＋|AC|＝8，|AD|＝|BC|，AB＋AC＝2AD，(AB＋
2
uuurr2uuuruuuruuur1uuuAC)·AD＝2AD·AD＝|BC|＝4.
2
答案：4 三、解答题
13．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)． (1)设c＝4a＋b，求(b·c)a；
3
(2)若a＋λb与a垂直，求λ的值； (3)求向量a在b方向上的投影． 解析：(1)∵a＝(1,2)，b＝(2，－2)， ∴c＝4a＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)． ∴b·c＝2×6－2×6＝0，∴(b·c) a＝0a＝0. (2) a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)， 由于a＋λb与a垂直，
5
∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝.
2(3)设向量a与b的夹角为θ， 向量a在b方向上的投影为|a|cos θ. ∴|a|cos θ＝
a·b1×2＋2×－222
＝＝－＝－. 22
|b|22＋－222
→
→
→
14．如图所示，AB＝(6,1)，BC＝(x，y)，CD＝(－2，－3)．
→→
(1)若BC∥DA，求x与y之间的关系式；
→→
(2)在(1)条件下，若AC⊥BD，求x，y的值及四边形ABCD的面积．
→→→
→→
→
→
→
→
解析 (1)∵AD＝AB＋BC＋CD＝(x＋4，y－2)，DA＝－AD＝(－x－4,2－y)． 又BC∥DA且BC＝(x，y)，∴x(2－y)－y(－x－4)＝0， 即x＋2y＝0.①
→→
0.
即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0，② 联立①②化简，得y－2y－3＝0， ∴y＝3或y＝－1.
→
→
故当y＝3时，x＝－6，此时AC＝(0,4)，BD＝(－8,0)，
4
2
→→→→→→→→
(2)由于AC＝AB＋BC＝(x＋6，y＋1)，BD＝BC＋CD＝(x－2，y－3)，又AC⊥BD，∴AC·BD＝
→→1
∴SABCD＝|AC|·|BD|＝16；
2
→
→
→
→
当y＝－1时，x＝2，此时AC＝(8,0)，BD＝(0，－4)， 1
∴SABCD＝|AC|·|BD|＝16.
2
→
的值．
→
→→
→
解析 由题意知△ABC为直角三角形，AB⊥BC， 3
∴AB·BC＝0，cos∠BAC＝，
54
cos∠BCA＝，
5
4
∴BC和CA夹角的余弦值为－，
5→→→→
→
→
→→→→→→
15．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，求AB·BC＋BC·CA＋CA·ABCA和AB夹角的余弦值为－，
→→
→→
→→
35
∴AB·BC＋BC·CA＋CA·AB 4?3???－－＝20×??＋15×??＝－25. ?5??5?
16．设两向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2t e1＋7e2与向量e1＋t e2的夹角为钝角，求实数t的取值范围． 思路分析 转化为(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0 且2te1＋7e2≠λ(e1＋te2)(λ＜0)．
解析 由已知得e1＝4，e2＝1，e1·e2＝2×1×cos 60°＝1.
∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te1＋(2t＋7)e1·e2＋7te2＝2t＋15t＋7. 欲使夹角为钝角，需2t＋15t＋7＜0. 1得－7＜t＜－.
2
设2t e1＋7e2＝λ(e1＋t e2)(λ＜0)．
??2t＝λ，∴???7＝tλ.
2
2
2
2
2
2
2
∴2t＝7.
2
5
【步步高】届高三数学一轮 5.3 平面向量的数量积课时检测 理 (含解析)北师大版.doc
