第五章 数列
第一节 数列的概念与简单表示法
[考情展望] 1.以数列的前n项为背景写数列的通项.2.考查由数列的通项公式或递推关系，求数列的某一项.3.考查已知数列的递推关系或前n项和Sn求通项an.
一、数列的有关概念
概念 数列 数列的项 数列 的通项 通项公式 前n项和 按照一定顺序排列的一列数 数列中的每一个数 数列{an}的第n项an叫做数列的通项 数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式an＝f(n)表达，这个公式叫做数列的通项公式 数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和 二、数列的分类 分类标准 项数 类型 有穷数列 无穷数列 递增数列 项与项间 的大小关系 递减数列 常数列 an＋1>an an＋1 判断数列递增(减)的方法 (1)作差比较法： ①若an＋1－an＞0，则数列{an}为递增数列． ②若an＋1－an＝0，则数列{an}为常数列． ③若an＋1－an＜0，则数列{an}为递减数列． (2)作商比较法：不妨设an＞0. ①若②若③若 an＋1 ＞1，则数列{an}为递增数列． anan＋1 ＝1，则数列{an}为常数列． anan＋1 ＜1，则数列{an}为递减数列． an三、数列的表示方法 数列有三种表示方法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 四、an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an， ??S1， 则an＝? ?Sn－Sn－1， ? n＝1， n≥2. 已知Sn求an的注意点 利用an＝Sn－Sn－1求通项时，注意n≥2这一前提条件，易忽略验证n＝1致误，当n＝1时，a1若适合通项，则n＝1的情况应并入n≥2时的通项；否则an应利用分段函数的形式表示． 1．已知数列{an}的前4项分别为2,0,2,0，则下列各式不可以作为数列{an}的通项公式的一项是( ) A．an＝1＋(－1) n＋1 B．an＝2sin nπ 2 C．an＝1－cos nπ 【答案】 B ??2，n为奇数 D．an＝? ?0，n为偶数? 2．在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1，则a5的值为( ) A．30 B．31 C．32 D．33 【答案】 B 3．已知数列{an}的通项公式为an＝ nn＋1 ，则这个数列是 ( ) A．递增数列 C．常数列 【答案】 A 4．数列{an}的前n项和Sn＝n＋1，则an＝ . ??2 【答案】 ? ??2n－1 2 B．递减数列 D．摆动数列 n＝1n≥2 5．若数列?n? ? n＋4??n?中的最大项是第k项，则k＝ . ?3?? ?2?? 【答案】 4 21 6．(2013·课标全国卷Ⅰ)若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an33＝ . 【答案】 (－2) n－1 考向一 [083] 由数列的前几项归纳数列的通项公式 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式． (1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…； 115132961 (3)，，－，，－，，…. 248163264 【尝试解答】 (1)符号可通过(－1)表示，后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大6， 故通项公式为an＝(－1)(6n－5)． 1?8888?(2)数列变为(1－0.1)，(1－0.01)，(1－0.001)，…，∴an ＝?1－n?. 10?9999?(3)各项的分母分别为2222，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把 1,2,3,4 nn 2－3 第1项变为－， 2 2－32－32－32－3 原数列化为－1，2，－3，4，…， 22222－3 ∴an＝(－1)·n. 2 nn1 2 3 4 规律方法1 1.求数列的通项时，要抓住以下几个特征． (1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想． 2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)或(－1) nn＋1 来调整． 考向二 [084] 由递推关系求通项公式 根据下列条件，求数列的通项公式an. (1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2； (2)在数列{an}中，an＋1＝ nn＋2 an，a1＝4； n(3)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝2an＋1. 【尝试解答】 (1)由an＋1－an＝2，把n＝1,2,3，…，n－1(n≥2)代入，得(n－1)个式子， 累加即可得(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝2＋2＋2＋…＋2 n2 3 nn－1 2 ，所以an－a1＝ nn1－21－2 n－1 ， 即an－a1＝2－2，所以an＝2－2＋a1＝2－1. 当n＝1时，a1＝1也符合， 所以an＝2－1(n∈N)． (2)由递推关系an＋1＝ n* n＋2an＋1n＋2 an，a1＝4，有＝， nanna2a34a45an－1n于是有＝3，＝，＝，…，＝， a1a22a33an－2n－2ann＋1annn＋1＝，将这(n－1)个式子累乘，得＝. an－1n－1a12 所以当n≥2时，an＝2n(n＋1)(n∈N)． * nn＋1 2 a1＝2n(n＋1)．当n＝1时，a1＝4符合上式，所以an＝ (3)由an＋1＝2an＋1得an＋1＋1＝2(an＋1)，令bn＝an＋1， 所以{bn}是以2为公比的等比数列． 所以bn＝b1·2 n－1 ＝(a1＋1)·2 n＋1 n－1 ＝2 n＋1 ， 所以an＝bn－1＝2－1(n∈N)． * 规律方法2 递推式的类型 递推式 方法 叠加法 叠乘法 化为等比数列 化为等差数列 示例 an＋1＝an＋f(n) an＋1＝f(n) anan＋1＝pan＋q (p≠0,1，q≠0) an＋1＝pan＋q·pn＋1 (p≠0,1，q≠0) a1＝1，an＋1＝an＋2n an＋1a1＝1，＝2n ana1＝1，an＋1＝2an＋1 a1＝1，an＋1＝3an＋3n＋1 1对点训练 (2015·银川模拟)已知f(x)＝.各项均为正数的数列{an}满足a1＝1，an1＋x＋2 ＝f(an)．若a2 014＝a2 016，则a20＋a11的值是 ． 【答案】 135＋3 26 考向三 [085] 由an与Sn的关系求通项an 已知数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式： (1)Sn＝2n－3n； (2)Sn＝3＋b.(b为常数) 【尝试解答】 (1)a1＝S1＝2－3＝－1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝(2n－3n)－[2(n－1)－3(n－1)]＝4n－5， 由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5. (2)a1＝S1＝3＋b， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝(3＋b)－(3 nn－1 2 2 2 n＋b)＝2·3 n－1 . 当b＝－1时，a1适合此等式． 当b≠－1时，a1不适合此等式． ∴当b＝－1时，an＝2·3 n－1 ； ??3＋b， n＝1， 当b≠－1时，an＝?n－1 ?2·3， n≥2.? 规律方法3 已知Sn求an时的三个注意点
高考数学大一轮复习 第五章 数列
