最全圆锥曲线知识点总结

高中数学椭圆的知识总结

1.椭圆的定义：

平面内一个动点P到两个定点F1,F2的距离之和等于常数（PF1?PF2?2a?F1F2），这个动点P的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.

注意：若PF1?PF2?F1F2，则动点P的轨迹为线段F1F2；若PF1?PF2?FF12，则动点P的轨迹无图形.

（1）椭圆：焦点在x轴上时x2y2222?x?acos?a2?b2?1（a?b?c）?y?bsin?（参数方程，其中?y轴上时y2x2为参数），焦点在a2?b2＝1（a?b?0）。

2. 椭圆的几何性质：

x22（1）椭圆（以

a2?yb2?1（a?b?0）为例）：①范围：?a?x?a,?b?y?b；②焦点：两个焦点(?c,0)；③对称性：两条对称轴x?0,y?0，一个对称中心（0,0），四个顶点

(?a,0),(0,?b)，其中长轴长为2a，短轴长为2b； ④离心率：e?ca，椭圆?0?e?1，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。⑥

（2）.点与椭圆的位置关系：①点P(xx220y00,y0)在椭圆外?a2?b2?1；

2②点P(xx22y20y0x000,y0)在椭圆上?a2?b2＝1；③点P(x0,y0)在椭圆内?a2?b2?1

3．直线与圆锥曲线的位置关系：

（1）相交：??0?直线与椭圆相交；（2）相切：??0?直线与椭圆相切； （3）相离：??0?直线与椭圆相离；

如:直线y―kx―1=0与椭圆

x2y25?m?1恒有公共点，则m的取值范围是_______； 4.焦点三角形（椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形）

5.弦长公式：若直线y?kx?b与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1,x2分别为A、B的横坐标，则AB＝1?k2x1?x2，若y1,y2分别为A、B的纵坐标，则AB＝1?1k2y1?y2，若弦AB所在直线方程设为x?ky?b，则AB＝1?k2y1?y2。

6.圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆

x2y2a2?b2x0b2?1中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=－a2y； 0如（1）如果椭圆

x236?y29?1弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 ； 2）已知直线y=－x+1与椭圆x2y2（a2?b2?1(a?b?0)相交于A、B两点，且线段AB的中点在

直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______；

（3）试确定m的取值范围，使得椭圆x24?y23?1上有不同的两点关于直线y?4x?m对称；

特别提醒：因为??0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称

问题时，务必别忘了检验??0！

椭圆知识点的应用 1.如何确定椭圆的标准方程？

任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。

确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件a,b；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。 2.椭圆标准方程中的三个量a,b,c的几何意义

椭圆标准方程中，a,b,c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：

(a?b?0)，(a?c?0)，且(a2?b2?c2)。

可借助右图理解记忆：

a,b,c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。 3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置

椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2，y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。 4．方程Ax2?By2?C(A,B,C均不为零）是表示椭圆的条件

方程Ax2?By2?C可化为

Ax2C?By2C?1，即x2C?By2C?1，所以只有A、B、C同号，AB且A?B时，方程表示椭圆。当

CA?CB时，椭圆的焦点在x轴上；当CCA?B时，椭圆的焦点在y轴上。

5．求椭圆标准方程的常用方法：

①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数a,b,c的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；

②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。

6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异

1

焦点，则c相同。与椭圆x2y2共a2?b2?1(a?b?0)共焦点的椭圆方程可设为

x2y2a2?m?b2?m?1(m??b2)，此类问题常用待定系数法求解。 7．判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据：

① 若把曲线方程中的x换成?x，方程不变，则曲线关于y轴对称； ② 若把曲线方程中的y换成?y，方程不变，则曲线关于x轴对称；

③ 若把曲线方程中的x、y同时换成?x、?y，方程不变，则曲线关于原点对称。 8．如何求解与焦点三角形△PF1F2（P为椭圆上的点）有关的计算问题？

思路分析：与焦点三角形△PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦

定理（或勾股定理）、三角形面积公式S1?PF1F2?2PF1?PF2?sin?F1PF2相结合的

方法进行计算解题。

将有关线段PF1、PF2、F1F2，有关角?F1PF2 (?F1PF2??F1BF2)结合起来，建立

PF1?PF2、PF1?PF2之间的关系. 9．如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？

长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率e?ca(0?e?1)，因为c2?a2?b2，a?c?0，用a、b表示为e?1?(ba)2(0?e?1)。

显然：当ba越小时，e(0?e?1)越大，椭圆形状越扁；当ba越大，e(0?e?1)越小，

椭圆形状越趋近于圆。

题型1:椭圆定义的运用

例1.已知Fx21,F为椭圆25?y29?1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点若F2A?F2B?12，则AB?______.

例2.如果方程x2?ky2?2表示焦点在x轴的椭圆，那么实数k的取值范围是____________.

例3.已知P为椭圆

x2y225?16?1上的一点，M,N分别为圆(x?3)2?y2?1和圆(x?3)2?y2?4上的点，则PM?PN的最小值为

题型2： 求椭圆的标准方程

例1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程. (1)经过两点A(3,?2),B(?23,1)；

(2)经过点(2，－3)且与椭圆9x2?4y2?36具有共同的焦点；

(3)一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为42－4. 题型3:求椭圆的离心率

例1、?ABC中，?A?30o,AB?2,SVABC?3,若以A,B为焦点的椭圆经过点C，则椭圆的离心率为 .

例2、过椭圆的一个焦点F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于P，若 ?F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为

题型4:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）

例1.已知实数x,y满足x24?y22?1,则x2?y2?x的范围为 2.已知点A,B是椭圆x2y2例uuuruuurm2?n2?1（m?0,n?0）上两点,且AO??BO,则?= 题型5：焦点三角形问题

例1.已知Fx2y21,F2为椭圆9?4?1的两个焦点，p为椭圆上的一点，已知P,F1,F2为一个直角三角形的三个顶点，且PF?PFPF112,求

PF的值. 2例2.已知Fx21,F2为椭圆C:8?y24?1的两个焦点，在C上满足PF1?PF2的点的个数为 . 例3.已知椭圆的焦点是F1(0,?1),F12(0,1),且离心率e?2 ① 求椭圆的方程; ② 设点P在椭圆上,且PF1?PF2?1,求cos?F1PF2.

2

题型6: 三角代换的应用

例1.椭圆

x2y216?9?1上的点到直线l:x?y?9?0的距离的最小值为___________． 例2.椭圆

x216?y29?1的内接矩形的面积的最大值为 题型7：直线与椭圆的位置关系的判断

x2例1.当m为何值时，直线y?x?m与椭圆

y216?9?1相交？相切？相离？ x2例2.若直线y?kx?1(k?R)与椭圆y25?m?1恒有公共点，求实数m的取值范围； 题型8：弦长问题

例1.求直线y?2x?4被椭圆

4x229?y9?1所截得的弦长. 2例2.已知椭圆

x2?y2?1的左右焦点分别为F1,F2，若过点P（0，-2）及F1的直线交椭圆于A,B两点，求⊿ABF2的面积；

题型9：中点弦问题 22例1. 求以椭圆

x8?y5?1内的点A（2，-1）为中点的弦所在的直线方程。 例2.中心在原点，一个焦点为F11(0,50)的椭圆截直线y?3x?2 所得弦的中点横坐标为2，求椭圆的方程．

例3.椭圆mx2?ny2?1与直线x?y?1 相交于A、B两点，点C 是AB的中点．若AB?22 ，

OC的斜率为22 （O为原点），求椭圆的方程．

巩固训练

1. 如图,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线AB1与BF交于D,且?BDBo1=90,则椭圆的离心率为

2.设Fx2uuuru1,F2为椭圆4?y2?1的两焦点，P在椭圆上，当?FPFuur1PF2面积为1时，1?PF2的值为

3.椭圆

x236?y29?1的一条弦被A?4,2?平分,那么这条弦所在的直线方程是 4. 若F1,F2为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若?PF1F2:?PF2F1:?F1PF2?1:2:3, 则此椭圆的离心率为

5.在平面直角坐标系中，椭圆x2y2a2?b2?1(a?b?0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径的圆，

过点(a2c,0)作圆的两切线互相垂直，则离心率e= ．

双曲线

基本知识点

标准方程（焦点在x轴） 标准方程（焦点在y轴） 双曲线 x2y2?y2a22?1(a?0,b?0) a2?x2bb2?1(a?0,b?0) 定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值是常数（小于F1F2）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。?MMF1?MF2?2a??2a?F1F2? 定义 P yy yyxx F2F1 F2 xxP F1范围 x?a，y?R y?a，x?R 对称轴 x轴 ，y轴；实轴长为2a,虚轴长为2b 对称中心 原点O(0,0) 焦点坐标 F1(?c,0) F2(c,0) F1(0,?c) F2(0,c) 3

焦点在实轴上，c?a2?b2；焦距：F1F2?2c 顶点坐标 （?a,0） (a,0) (0, ?a,) (0，a) 离心率 cb2e?a?1?a2,(e?1) 渐近线 y??bx y??aa方程 bx 共渐近线x2的双曲线a2?y2y2b2?k（k?0） a2?x2b2?k（k?0） 系方程 双曲线x2y2a2?b2?1与直线y?kx?b的位置关系： 直线和双?x2y2利用???曲线的位?a2?b21转化为一元二次方程用判别式确定。 ?y?kx?b置 二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。 相交弦AB的弦长AB?1?k2(x1?x2)2?4x1x2 补充知识点：

等轴双曲线的主要性质有：

（1）半实轴长=半虚轴长（一般而言是a=b，但有些地区教材版本不同，不一定用的是a,b这两个字母）； （2）其标准方程为x2?y2?C，其中C?0； （3）离心率e?2；

（4）渐近线：两条渐近线 y=±x 互相垂直； 例题分析：

例1、动点P与点F1(0，5)与点F2(0，?5)满足PF1?PF2?6，则点P的轨迹方程为（ ）

4

x29?y216?1 Ｂ．?x2y2Ａ．16?9?1

x2y216?9?1(y≥3) Ｄ．?x2y2Ｃ．?16?9?1(y≤?3)

同步练习一:如果双曲线的渐近线方程为y??34x，则离心率为（ ）

Ａ．53

Ｂ．

54

Ｃ．53或54

Ｄ．3 2、已知双曲线x24?y2例k?1的离心率为e?2，则k的范围为（ ）

Ａ．?12?k?1 Ｂ．k?0 Ｃ．?5?k?0

Ｄ．?12?k?0

x2y2同步练习二:双曲线a2?b2?1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为 ．

3、设P是双曲线x2y2例a2?9?1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x?2y?0，F1，F2分别是

双曲线的左、右焦点，若PF1?3，则PF2的值为 ．

同步练习三:若双曲线的两个焦点分别为(0，?2)，，(02)，且经过点(2，15)，则双曲线的标准方程为 。

例4、下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是（ ）

(A)x22y2x2x22x23-y=1和9-3=1 (B)3-y=1和y2

-3=1

(C)y2

-x23=1和x-y23=1 (D)x23-y2=1和x29-y22

3=1

同步练习四:已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2分别为(5，0)和(?5，0)，点P在双曲线上且PF1?PF2，且△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为（ ）

2Ａ．x2?y2x2?y2?1 Ｃ．x2223?1

Ｂ．4?y232?1

Ｄ．x?y4?1

例5、与双曲线

x29?y216?1有共同的渐近线，且经过点A(?3,23}的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（ ） （A）8 （B）4 （C）2 （D）1

同步练习五:以y??3x为渐近线，一个焦点是F（0，2）的双曲线方程为_________. 例6、下列方程中，以x±2y=0为渐近线的双曲线方程是 222222(A)

x16?y4?1(B)x4?y16?1(C)x2?y2?1(D)x2?y2?1 同步练习六:双曲线8kx2

-ky2

=8的一个焦点是(0，3)，那么k的值是

例7、经过双曲线x2?y23?1的右焦点F2作倾斜角为30°的弦AB， （1）求|AB|.

（2）F1是双曲线的左焦点，求△F1AB的周长．

22同步练习七过点（0，3）的直线l与双曲线x4?y3?1只有一个公共点，求直线l的方程。 高考真题分析

1.【2012高考新课标文10】等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2?16x的准线交于A,B两点，AB?43；则C的实轴长为（ ）

(A)2 (B) 22 (C)? (D)?

x22012高考山东文11】已知双曲线C：y22.【1a2?b2?1(a?0,b?0)的离心率为2.若抛物线

C22:x?2py(p?0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为 (A) x2?833y (B) x2?1633y (C)x2?8y (D)x2?16y 3.【2012高考全国文10】已知F221、F2为双曲线C:x?y?2的左、右焦点，点P在C上，

|PF1|?2|PF2|，则cos?F1PF2?

（A）

14 （B）35 （C）344 （D）5

4.（2011年高考湖南卷文科6)设双曲线x2y2a2?9?1(a?0)的渐近线方程为3x?2y?0,则a的值为（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2【2012高考江苏8】y25.m?m2?4?1的离心率为5，

则m的值为 ．

抛物线

y2?2pxx2?2py(p?0) y2??2px(p?0) (p?0) x2??2py(p?0) 抛 y y y 物 l y l l 线 O F x F O x F O x O x F l 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫定义 做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。 {MMF=点M到直线l的距离} 范围 x?0,y?R x?0,y?R x?R,y?0 x?R,y?0 对称性 关于x轴对称 关于y轴对称 焦点 (p(?p2,0) 2,0) (0,p2) (0,?p2) 焦点在对称轴上 顶点 O(0,0) 离心率 e=1 准线 x??p方程 2 x?p2 y??p2 y?p2 准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。 顶点到准p线的距离 2 5

焦点到准线的距离 p 焦半径 A(x??x1,y1) AF?xp1?2 AF1?p2 AF?y1?p2 AF??y1?p2 焦 点弦 长AB (x1?x2)?p ?(x1?x2)?p (y1?y2)?p ?(y1?y2)?p y A?x1,y1? o F x 焦点弦 B?x2,y2? AB的几 条性质以AB为直径的圆必与准线l相切 A(x1,y1)若AB的倾斜角为?，则AB?2psin2? 若AB的倾斜角为?，则AB?2pcos2? B(x2,y2) 2x1x2?p4 y1y2??p2 1AF?1BF?AF?BFAF?BF?AB2AF?BF?p 切线 方程 y0y?p(x?x0) y0y??p(x?x0) x0x?p(y?y0) x0x??p(y?y0) 1、直线与抛物线的位置关系 直线l:y?kx?b，抛物线C:y2?2px， 由 ??y?kx?b2px，消y得：

?y?2

（1）当k=0时，直线l与抛物线的对称轴平行，有一个交点；

（2）当k≠0时，Δ＞0，直线l与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） 1、关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l：y?kx?b 抛物线C:y2?2px，(p?0)

联立方程法：

??y?kx?b?y2?2px?k2x2?2(kb?p)x?b2?0 设交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)，则有??0,以及x1?x2,x1x2，还可进一步求出

y1?y2?kx1?b?kx2?b?k(x1?x2)?2b，

y1y2?(kx1?b)(kx2?b)?k2x1x2?kb(x21?x2)?b

在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 (1)相交弦AB的弦长

AB?1?k2x1?x222?1?k(x1?x2)?4x1x2?1?k2?a 或 AB?1?1k2y1?y2?1?1k2(y1?y2)2?4y1y2?1?k2?a （2）. 中点M(xx0,y0), x1?x20?， yy1?y220?2 点差法：

设交点坐标为A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入抛物线方程，得

y221?2px1 y2?2px2将两式相减，可得(y1?y2)(y1?y2)?2p(x1?x2)

y1?y22pxx?

1?2y1?y2（1）在涉及斜率问题时，k2pAB?y 1?y2（2）在涉及中点轨迹问题时，设线段AB的中点为M(x0,y0)，

y1?y22px?p?2p?p，即kAB?1?x2y1?y22y0y0y，

0同理，对于抛物线x2?2py(p?0)，若直线l与抛物线相交于A、B两点，点M(x0,y0)是弦AB的中点，则有k1?x22x0xAB?x2p?2p?0p（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）

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