专题二 函数概念与基本初等函数Ⅰ
第五讲 函数与方程
答案部分
1．C【解析】函数g(x)?f(x)?x?a存在 2个零点，即关于x的方程f(x)??x?a有2
个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y??x?a有2个交点，作出直线y??x?a与函数f(x)的图象，如图所示，
y321–2–1O–1–2
由图可知，?a≤1，解得a≥1，故选C． 2．C【解析】令f(x)?0，则方程a(e2x?1123x?e?x?1)??x2?2x有唯一解，
x?1?x?1设h(x)??x?2x，g(x)?e?e，则h(x)与g(x)有唯一交点，
又g(x)?ex?1?e?x?1?ex?1?21ex?1≥2，当且仅当x?1时取得最小值2．
而h(x)??(x?1)?1≤1，此时x?1时取得最大值1，
ag(x)?h(x)有唯一的交点，则a?3．B【解析】当0?m≤1时，
函数y?g(x)?1．选C． 21≥1，函数y?f(x)?(mx?1)2，在[0,1]上单调递减，mx?m，在[0,1]上单调递增，因为f(0)?1，g(0)?m，
f(1)?(m?1)2，g(1)?1?m，所以f(0)?g(0)，f(1)?g(1)，此时f(x)与g(x)在x?[0,1]有一个交点；当m?1时，0?1?1，函数y?f(x)?(mx?1)2，在 m111[0,]上单调递减，在[,1]上单调递增，此时f(0)?g(0)，在[0,]无交点， mmm
要使两个函数的图象有一个交点，需f(1)≥g(1)，即(m?1)≥1?m，解得m≥3． 选B．
4．C【解析】当x?0时，f(x)单调递减，必须满足?24a?320，故0?a数f(x)在[0,??)上单调递减，若f(x)在R上单调递减，还需3a以
3，此时函41，所1，即a313a3．当x40时，函数y?|f(x)|的图象和直线y?2?x只有一个公共点，
即当x0时，方程|f(x)|?2?x只有一个实数解．因此，只需当x?0时，方程
2根据已知条件可得，当x?0时，方程x?(4a?3)x? |f(x)|?2?x只有一个实数解，
3a?2?x，即x2?2(2a?1)x?3a?2?0在(??,0)上恰有唯一的实数解．判别式
??4(2a?1)2?4(3a?2)?4(a?1)(4a?3)，当a?231时，??0，此时x??满42足题意；令h(x)?x?2(2a?1)x?3a?2，由题意得h(0)?0，即3a?2?0，即
22时，方程x?2(2a?1)x?3a?2?0有一个正根、一个负根，满足要求；当322h(0)?0，即a?时，方程x2?2(2a?1)x?3a?2?0有一个为0、一个根为?，
3323满足要求；当h(0)?0，即3a?2?0，即?a?时对称轴?(2a?1)?0，此时方
34a?程x?2(2a?1)x?3a?2?0有两个负根，不满足要求；综上实数a的取值范围是
2123[,]{}． 3345．A【解析】ycosx是偶函数且有无数多个零点，ysinx为奇函数，ylnx既不是
x21是偶函数但没有零点．故选A．
奇函数又不是偶函数，y6．D【解析】由韦达定理得a?b?p，a?b?q，则a?0,b?0，当a,b,?2适当排序后
成等比数列时，?2必为等比中项，故a?b?q?4，b?列时，?2必不是等差中项，当a是等差中项时，2a?当
4．当适当排序后成等差数a4?2，解得a?1，b?4； a48是等差中项时，?a?2，解得a?4，b?1，综上所述，a?b?p?5， aa所以p?q?9，选D．
???2?2?x,x?0?2?x,x?2,7．D【解析】由f?x???得， f(2?x)??22x?0??x,???x?2?,x?2,?2?x?x2,x?0?0?x?2， 所以y?f(x)?f(2?x)??4?x?2?x,?2?2?2?x?(x?2),x?2?x2?x?2,x?0?0?x?2， 即y?f(x)?f(2?x)??2,?x2?5x?8,x?2?y?f(x)?g(x)?f(x)?f(2?x)?b，所以y?f?x??g?x?恰有4个零点等价
于方程f(x)?f(2?x)?b?0有4个不同的解，即函数y?b与函数
y?f(x)?f(2?x)的图象的4个公共点，由图象可知
7?b?2． 4yOx
8．A【解析】由A知a?b?c?0；由B知f?(x)?2ax?b，2a?b?0；由C知
4ac?b2bb?3； ，则f(?)?3，则f?(x)?2ax?b，令f?(x)?0可得x??4a2a2a?a?b?c?0?2a?b?0?a?5???由D知4a?2b?c?8，假设A选项错误，则?4ac?b2，得?b??10，满足
?3?c?8?4a????4a?2b?c?8题意，故A结论错误，同理易知当B或C或D选项错误时不符合题意，故选A． 9．B【解析】如图所示，方程
f(x)?g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有
两个不同的交点，结合图象可知，当直线y?kx的斜率大于坐标原点与点(2,1)的连续的斜率，且小于直线y?x?1的斜率时符合题意，故选
1?k?1． 2
理科数学2010-2018高考真题分类专题二 函数概念与基本初等函数 第五讲函数与方程答案
