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第2炼 充分条件与必要条件
一、基础知识 1、定义：
（1）对于两个条件p,q，如果命题“若p则q”是真命题，则称条件p能够推出条件q，记为p?q （2）充分条件与必要条件：如果条件p,q满足p?q，则称条件p是条件q的充分条件；称条件q是条件p的必要条件
2、对于两个条件而言，往往以其中一个条件为主角，考虑另一个条件与它的关系，这种关系既包含充分方面，也包含必要方面。所以在判断时既要判断“若p则q”的真假，也要判断“若q则p”真假 3、两个条件之间可能的充分必要关系：
（1）p能推出q，但q推不出p，则称p是q的充分不必要条件 （2）p推不出q，但q能推出p，则称p是q的必要不充分条件
（3）p能推出q，且q能推出p，记为p?q，则称p是q的充要条件，也称p,q等价 （4）p推不出q，且q推不出p，则称p是q的既不充分也不必要条件 4、如何判断两个条件的充分必要关系
（1）通过命题手段，将两个条件用“若……，则……”组成命题，通过判断命题的真假来判断出条件能否相互推出，进而确定充分必要关系。例如p:x?1;q:x?1?0，构造命题：“若x?1，则
2x2?1?0”为真命题，所以p?q，但“若x2?1?0，则x?1”为假命题（x还有可能为?1），所
以q不能推出p；综上，p是q的充分不必要条件 （2）理解“充分”，“必要”词语的含义并定性的判断关系
① 充分：可从日常用语中的“充分”来理解，比如“小明对明天的考试做了充分的准备”，何谓“充分”？这意味着小明不需要再做任何额外的工作，就可以直接考试了。在逻辑中充分也是类似的含义，是指仅由p就可以得到结论q，而不需要再添加任何说明与补充。以上题为例，对于条件p:x?1，不需再做任何说明或添加任何条件，就可以得到q:x?1?0所以可以说p对q是“充分的”，而反观q对
2p，由q:x2?1?0，要想得到p:x?1，还要补充一个前提：x不能取?1，那既然还要补充，则说明
是“不充分的”
② 必要：也可从日常用语中的“必要”来理解，比如“心脏是人的一个必要器官”，何谓“必要”？没有心脏，人不可活，但是仅有心脏，没有其他器官，人也一定可活么？所以“必要”体现的就是“没它
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不行，但是仅有它也未必行”的含义。仍以上题为例：如果q:x?1?0不成立，那么x必然不为1，但是仅靠q:x?1?0想得到p:x?1也是远远不够的，还需要更多的补充条件，所以仅仅是“必要的” （3）运用集合作为工具
先看一个问题：已知P?Q ,那么条件“x?P”是“x?Q”的什么条件？
由P?Q可得到：x?P?x?Q，且x?Q推不出x?P，所以“x?P”是“x?Q”充分不必要条件。通过这个问题可以看出，如果两个集合存在包含关系，那么其对应条件之间也存在特定的充分必要关系。在求解时可以将满足条件的元素构成对应集合，判断出两个集合间的包含关系，进而就可确定条件间的关系了。相关结论如下：
① P?Q：p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件 ② P?Q：p是q的充分条件 ③ P?Q：p是q的充要条件
此方法适用范围较广，尤其涉及到单变量取值范围的条件时，不管是判断充分必要关系还是利用关系解参数范围，都可将问题转化为集合的包含问题，进而快捷求解。例如在p:x?1;q:x?1?0中，满足
222p的x取值集合为P??1?，而满足q的x取值集合为??1,1?
所以P?Q，进而判断出p是q的充分不必要条件
5、关于“?p,?q”的充分必要关系：可从命题的角度进行判断。例如：p是q的充分不必要条件，则命题“若p，则q”为真命题，根据四类命题的真假关系，可得其逆否命题“若?q，则?p”也为真命题。所以?q是?p的充分不必要条件 二、典型例题：
例1：已知p:x?3?1,q:x?x?6?0，则p是q的（ ）
A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
思路：考虑利用集合求解：分别解不等式得到对应集合。x?3?1??1?x?3?1，解得：
22?x?4，即P??x|2?x?4?；x2?x?6?0?x??3或x?2，即Q??x|x??3或x?2?。所以
P?Q，进而p是q的充分不必要条件
答案：C
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例2：已知a,b?R，那么log1a?log1b是3a?3b的（ ）
22A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
思路：本题若觉得不方便从条件中直接找到联系，可先从一个条件入手推出其等价条件，再进行判断，比如“3a?3b”等价于a?b，所以只需判断log1a?log1b与a?b的关系即可。根据y?log1x的单
222调性可得：如果log1a?log1b，则a?b，但是若a?b，在a,b大于零的前提下，才有
22log1a?log1b，而题目中仅说明a,b?R。所以不能推出。综上可判断log1a?log1b是3a?3b的充
2222分不必要条件 答案：C
小炼有话说：（1）如果所给条件不方便直接判断，那么可以寻找它们的等价条件（充要条件），再进行判断即可
（2）在log1a?log1b推a?b中，因为log1a?log1b是条件，表达式成立要求a,b?0，但是在
2222a?b推log1a?log1b中，a?b是条件，且对a,b取值没有特殊要求，所以a,b?R，那么作为结论
22的log1a,log1b就不一定有意义了。在涉及到变量取值时要首先分清谁是条件，谁是结论。作为条件的
22一方默认式子有意义，所以会对变量取值有一定的影响。 例3：已知p:x?k,q:3?1，如果p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是_____ x?1??3??1???x|x??1或x?2?，因为p是q的充分不必要条件，所以x?1?思路：设P??x|x?k?,Q??x|P?Q，利用数轴可而判断出k?2
答案：k?2
例4：下面四个条件中，使a?b成立的充分而不必要的条件是（ ）
2233A. a?b?1 B. a?b?1 C. a?b D. a?b
思路：求a?b的充分不必要条件，则这个条件能够推出a?b，且不能被a?b推出。可以考虑验证四个选项。A选项a?b?1可以推出a?b，而a?b不一定能够得到a?b?1（比如a?1,b?1.5），所以A符合条件。对于B，C两个选项均不能推出A，所以直接否定。而D选项虽然可以得到a?b，但是
a?b也能推出a3?b3，所以D是A的充要条件，不符题意
答案：A
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例5：（2015浙江温州中学高二期中考试）设集合A??x|是“A??x?1??0?,B??x|x?1?a?，则“a?1”x?1?B??”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
思路：先解出两个解集：A???1,1?，B的解集与a的取值有关：若a?0，则B??；若a?0，则
B??1?a,1?a?，观察条件，若a?1，则B??0,2?，所以AB??成立；若AB??，则通过
数轴观察区间可得a的取值为多个（比如a?答案：A
例6：对于函数y?f(x),x?R，“y?f(x)的图象关于y轴对称”是“y?f(x)是奇函数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
1），所以“a?1”是“AB??”的充分不必要条件 2思路：如果y?f(x)是奇函数，图像关于原点对称，则y?f(x)中y?f(x)位于x轴下方的部分沿x轴对称翻上来，恰好图像关于y轴对称，但y?f(x)的图象关于y轴对称未必能得到y?f(x)是奇函数（例如f?x??x），所以“y?f(x)的图象关于y轴对称”是“y?f(x)是奇函数”的必要不充分
2条件 答案：B
例7：已知a,b?R，则“a2?b2?1”是“a?b?1”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
思路一：可以考虑利用特殊值来进行判断。比如考虑左?右，可以举出反例a?0.9,b?0.4，则
a?b?1不成立，所以左边无法得到右边。而右?左能够成立，所以“a2?b2?1”是
“a?b?1”的必要不充分条件
思路二：本题也可以运用集合的思想，将a,b视为一个点的坐标?a,b?，则条件所对应的集合为
P???a,b?|a2?b2?1?,Q???a,b?|a?b?1?，作出两个集合在坐标系中的区域，观察两个区域可得P?Q，所以“a2?b2?1”是“a?b?1”的必要不充分条件
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答案：B
例8（2015菏泽高三期中考试）：设条件p：实数x满足x?4ax?3a?0(a?0)；条件q：实数x满足x2?2x?8?0且?p是?q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是_________
思路：本题如果先将?p，?q写出，再利用条件关系运算，尽管可行，但?p，?q容易书写错误。所以优先考虑使用原条件。“?p是?q的必要不充分条件”等价于“q是p的必要不充分条件”，而p,q为两个不等式，所以考虑求出解集再利用集合关系求解。
解：设P?x|x2?4ax?3a2?0,a?0，可解得：P??3a,a?， 设Q?x|x2?2x?8?0可解得：Q????,?4?
22?????2,???，
?p是?q的必要不充分条件 ?q是p的必要不充分条件
?Q?P a?0 ?a??4
答案：a??4
例9：数列?an?满足a1?1,an?1?r?an?rn?N?,r?0，则“r?1”是“数列?an?成等差数列”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
??思路：当r?1时，可得an?1?an?1，即?an?成等差数列。所以“r?1”是“数列?an?成等差数列”的充分条件。另一方面，如果?an?成等差数列，则a1,a2,a3 成等差数列，所以有
2a2?a1?a3?2?r?a1?r??1?ra2?r?2?r?a1?r??1?r?ra1?r??r，代入a1?1可得：
4r?2r2?r?1?2r2?3r?1?0，解得r?1或r?11a3?a2??1,221111，经检验，r?时，a2?a1??1，22221利用数学归纳法可证得an?1，则?an?也为等差数列（公差为0），所以r?符合
2题意。从而由“数列?an?成等差数列”无法推出“r?1”，所以“r?1”是“数列?an?成等差数列”的不必要条件 答案: A 例10：设0?x??22，则xsinx?1是xsinx?1的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
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高考高中数学第02炼 充分条件与必要条件
