玩转数学例6解点P是曲线y=ex上任意一点,求点P到直线y=x的最小距离.安老师培优课堂如图,当曲线y=ex在点P(x0,y0)处的切线与直线y=x平行时,点P到直线y=x的距离最近.则曲线y=ex在点P(x0,y0)处的切线斜率为1,又y′=(ex)′=ex,所以ex0=1,得x0=0,代入y=ex,得y0=1,即P(0,1).利用点到直线的距离公式得最小距离为[题型练透]1.求抛物线y=x2上的点到直线x-y-2=0的最短距离.解2
设切点坐标为(x0,x20),依题意知与直线x-y-2=0平行的抛物线y=x的切线的切点2.2到直线x-y-2=0的距离最短.1∵y′=(x2)′=2x,∴2x0=1,∴x0=,211,∴切点坐标为24,1--2||124272.8∴所求的最短距离d==2.已知A,B,C三点在曲线y=x上,其横坐标依次为1,m,4(1 D.(cosx·sinx)′=(sinx)′cosx+(cosx)′cosx答案解析AA项中,(ax2+bx+c)′=a(x2)′+b(x)′,正确;B项中,(sinx-2x2)′=(sinx)′-2(x2)′,错误;sinx?sinx?′x2-sinx?x2?′2C项中,x′=,错误;x4 D项中,(cosx·sinx)′=(cosx)′sinx+cosx(sinx)′,错误.2.函数f(x)=xcosx-sinx的导函数是(A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数,又不是偶函数答案解析Bf′(x)=(xcosx)′-(sinx)′)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.令F(x)=-xsinx,x∈R,则F(-x)=xsin(-x)=-xsinx=F(x),∴f′(x)是偶函数.3.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为(A.1答案解析B.2B设切点坐标是(x0,x0+1),C.-1D.-2)1=1,依题意有x0+ax0+1=ln?x0+a?,由此得x0=-1,a=2.关注公众号:玩转高中数学研讨,获取更多经典资料,加入QQ群721144129,资料任意下。玩转数学π2x-4.函数y=x2cos3的导数为(ππ2x-2x-2A.y′=2xcos3-xsin3ππ2x-2x-B.y′=2xcos3-2x2sin3C.y′=x2cos2x-ππ2x-3-2xsin3安老师培优课堂)ππ2x-2x-D.y′=2xcos3+2x2sin3答案解析Bππ2x-2x-y′=(x2)′cos3+x2cos3′π2x-3′ππ2x-2x-=2xcos33+x2-sinππ2x-2x-=2xcos3-2x2sin3.5.曲线y=eA.13B.12-2x +1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为(D.1)C.23答案解析Ay′|x=0=-2e-2×0=-2,∴曲线在点(0,2)处的切线方程为y=-2x+2.由y=-2x+2,y=x,2解得x=y=,322,∴A33,121则围成的三角形的面积为××1=.23316.在下面的四个图象中,其中一个图象是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R)的导函数3y=f′(x)的图象,则f(-1)等于()关注公众号:玩转高中数学研讨,获取更多经典资料,加入QQ群721144129,资料任意下。玩转数学安老师培优课堂A.13B.-13C.73D.-153或3答案B解析∵f′(x)=x2+2ax+(a2-1),∴导函数f′(x)的图象开口向上,故其图象必为图③.由图象特征知f′(0)=0,且对称轴x=-a>0,∴a=-1,则f(-1)=-113-1+1=-3,故选B.7.已知点P在曲线y=4ex+1上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是(A.0,πππ4B.4,2π3πC.2,3π4D.4,π答案D解析y′=-4ex-4ex -4?ex+1?2=?ex?2+2ex+1=ex+1.ex +2∵ex+11ex≥2,∴ex+ex+2≥4,当且仅当x=0时等号成立.3π∴y′∈[-1,0),即tanα∈[-1,0),∴α∈4,π.8.设f(5)=5,f′(5)=3,g(5)=4,g′(5)=1,若h(x)=f?x?+2g?x?,则h′(5)=________.答案516解析由题意知f(5)=5,f′(5)=3,g(5)=4,g′(5)=1,关注公众号:玩转高中数学研讨,获取更多经典资料,加入QQ群721144129,资料任意下。)玩转数学f′?x?g?x?-[f?x?+2]g′?x?∵h′(x)=,g2?x?∴h′(5)=f′?5?g?5?-[f?5?+2]g′?5?g2?5?安老师培优课堂3×4-?5+2?×15==.1642 ππ9.已知函数f(x)=f′4cosx+sinx,则f4的值为________.答案解析1π∵f′(x)=-f′4sinx+cosx,ππ22∴f′4=-f′4×+,22π解得f′4=2-1.π∴f(x)=(2-1)cosx+sinx,∴f4=1.10.若曲线y=ex上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是________.- 答案解析(-ln2,2)设P(x0,e-x0),y′|x=x0=-e-x0=-2,得x0=-ln2,∴P(-ln2,2).11.在等比数列{an}中,a1=2,a8=4,函数f(x)=x(x-a1)·(x-a2)…(x-a8),则f′(0)=________.答案解析4096∵f′(x)=x′(x-a1)(x-a2)…(x-a8)+x(x-a1)′·(x-a2)…(x-a8)+…+x(x-a1)(x-a2)…(x-a8)′=(x-a1)(x-a2)…(x-a8)+x(x-a2)…(x-a8)+…+x(x-a1)(x-a2)…(x-a7),∴f′(0)=a1·a2·…·a8=(a1a8)4=84=4096.ex 12.若函数f(x)=在x=c处的导数值与函数的值互为相反数,求c的值.x解exx-exex?x-1?∵f′(x)==,x2x2 ec?c-1?∴f′(c)=.c2 依题意知f(c)+f′(c)=0,ecec?c-1?即+=0,cc21∴2c-1=0,得c=.2关注公众号:玩转高中数学研讨,获取更多经典资料,加入QQ群721144129,资料任意下。
第7讲 导数的计算教师
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