玩转数学例6解点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．安老师培优课堂如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近．则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex，所以ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得最小距离为[题型练透]1.求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．解2
设切点坐标为(x0，x20)，依题意知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x的切线的切点2.2到直线x－y－2＝0的距离最短．1∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝，211，∴切点坐标为24，1－－2||124272.8∴所求的最短距离d＝＝2.已知A，B，C三点在曲线y＝x上，其横坐标依次为1，m,4(1 D．(cosx·sinx)′＝(sinx)′cosx＋(cosx)′cosx答案解析AA项中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，正确；B项中，(sinx－2x2)′＝(sinx)′－2(x2)′，错误；sinx?sinx?′x2－sinx?x2?′2C项中，x′＝，错误；x4 D项中，(cosx·sinx)′＝(cosx)′sinx＋cosx(sinx)′，错误．2．函数f(x)＝xcosx－sinx的导函数是(A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数，又不是偶函数答案解析Bf′(x)＝(xcosx)′－(sinx)′)＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.令F(x)＝－xsinx，x∈R，则F(－x)＝xsin(－x)＝－xsinx＝F(x)，∴f′(x)是偶函数．3．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为(A．1答案解析B．2B设切点坐标是(x0，x0＋1)，C．－1D．－2)1＝1，依题意有x0＋ax0＋1＝ln?x0＋a?，由此得x0＝－1，a＝2.关注公众号:玩转高中数学研讨，获取更多经典资料，加入QQ群721144129，资料任意下。玩转数学π2x－4．函数y＝x2cos3的导数为(ππ2x－2x－2A．y′＝2xcos3－xsin3ππ2x－2x－B．y′＝2xcos3－2x2sin3C．y′＝x2cos2x－ππ2x－3－2xsin3安老师培优课堂)ππ2x－2x－D．y′＝2xcos3＋2x2sin3答案解析Bππ2x－2x－y′＝(x2)′cos3＋x2cos3′π2x－3′ππ2x－2x－＝2xcos33＋x2－sinππ2x－2x－＝2xcos3－2x2sin3.5．曲线y＝eA.13B.12－2x ＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为(D．1)C.23答案解析Ay′|x＝0＝－2e－2×0＝－2，∴曲线在点(0,2)处的切线方程为y＝－2x＋2.由y＝－2x＋2，y＝x，2解得x＝y＝，322，∴A33，121则围成的三角形的面积为××1＝.23316．在下面的四个图象中，其中一个图象是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)的导函数3y＝f′(x)的图象，则f(－1)等于()关注公众号:玩转高中数学研讨，获取更多经典资料，加入QQ群721144129，资料任意下。玩转数学安老师培优课堂A.13B．－13C.73D．－153或3答案B解析∵f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－1)，∴导函数f′(x)的图象开口向上，故其图象必为图③.由图象特征知f′(0)＝0，且对称轴x＝－a>0，∴a＝－1，则f(－1)＝－113－1＋1＝－3，故选B.7．已知点P在曲线y＝4ex＋1上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(A.0，πππ4B.4，2π3πC.2，3π4D.4，π答案D解析y′＝－4ex－4ex －4?ex＋1?2＝?ex?2＋2ex＋1＝ex＋1.ex ＋2∵ex＋11ex≥2，∴ex＋ex＋2≥4，当且仅当x＝0时等号成立．3π∴y′∈[－1,0)，即tanα∈[－1,0)，∴α∈4，π.8．设f(5)＝5，f′(5)＝3，g(5)＝4，g′(5)＝1，若h(x)＝f?x?＋2g?x?，则h′(5)＝________.答案516解析由题意知f(5)＝5，f′(5)＝3，g(5)＝4，g′(5)＝1，关注公众号:玩转高中数学研讨，获取更多经典资料，加入QQ群721144129，资料任意下。)玩转数学f′?x?g?x?－[f?x?＋2]g′?x?∵h′(x)＝，g2?x?∴h′(5)＝f′?5?g?5?－[f?5?＋2]g′?5?g2?5?安老师培优课堂3×4－?5＋2?×15＝＝.1642 ππ9．已知函数f(x)＝f′4cosx＋sinx，则f4的值为________．答案解析1π∵f′(x)＝－f′4sinx＋cosx，ππ22∴f′4＝－f′4×＋，22π解得f′4＝2－1.π∴f(x)＝(2－1)cosx＋sinx，∴f4＝1.10．若曲线y＝ex上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．－ 答案解析(－ln2,2)设P(x0，e－x0)，y′|x＝x0＝－e－x0＝－2，得x0＝－ln2，∴P(－ln2,2)．11．在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝________.答案解析4096∵f′(x)＝x′(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x(x－a1)′·(x－a2)…(x－a8)＋…＋x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)′＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x(x－a2)…(x－a8)＋…＋x(x－a1)(x－a2)…(x－a7)，∴f′(0)＝a1·a2·…·a8＝(a1a8)4＝84＝4096.ex 12．若函数f(x)＝在x＝c处的导数值与函数的值互为相反数，求c的值．x解exx－exex?x－1?∵f′(x)＝＝，x2x2 ec?c－1?∴f′(c)＝.c2 依题意知f(c)＋f′(c)＝0，ecec?c－1?即＋＝0，cc21∴2c－1＝0，得c＝.2关注公众号:玩转高中数学研讨，获取更多经典资料，加入QQ群721144129，资料任意下。
第7讲 导数的计算教师
