正弦函数、余弦函数的图像
一、内容和内容解析：
本节课是高中新教材《数学》必修4§1.4《正弦函数、余弦函数的图象和性质》 的第一节，是学生在已掌握了一些基本函数的图象及其画法的基础上，进一步研究三角函数图象的画法。.为今后学习正弦型函数 y＝Asin (ωx＋φ)的图象及运用数形结合思想研究正、余弦函数的性质打下坚实的知识基础．因此，本节课的内容是至关重要的，它对知识的掌握起到了承上启下的作用。
二、教学目标
（1）了解如何利用正弦线画出正弦函数的图像，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图像。
（2）掌握“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图。
（3）探究利用“五点法”画与正弦函数、余弦函数有关的某些简单函数在长度为一个周期的
闭区间上的简图。
（4）体验利用图象变换作图的方法，体会数形结合的思想。
三、教学支持条件分析：
1．资料的收集
“简谐运动”的实验装置. 2.课件的制作
采用flash软件辅助设计“简谐运动”动画，用flash软件或“几何画板”制作正弦函数图像的几何画法过程. 3.活动的准备:
利用多媒体、实物教具等手段可帮助学生更直观地认识正、余弦函数曲线，以及它们之间的图像变换，并且通过教师的讲解法、谈话法、发现法、启发式教学法，使学生通过一定的观察、思考、分析以及动手操作，更有利学生的自主探索，使学生在学习活动中获得成功感，整堂课在师生的合作学习氛围中进行数学思维，使学生更好的发现数学规律。
四、教学过程 课题导入：
以前，我们已经学习过一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等，对于各种函数，我们都可以通过它的图像研究它的一些相关性质，那么，我们今天学习的正、余弦函数的图像是什么样子的呢？
探索新知：
1、情景设置：
遇到一个新函数，画出它的图像，通过观察图像获得对它的性质的直观认识，是研究函数的基本方法，为了获得正弦函数和余弦函数的图像，我们先做一个简谐振动的实验，请注意观察它的图形特点。 实物演示：
“装满细沙的漏斗在做单摆运动时，沙子落在与单摆运动方向垂直运动的木板上的轨迹”
思 考：1、该曲线是何曲线？ 2、你有办法画出该曲线的图象吗？ 【设计意图】：明确研究思想，利用简谐振动图像引进正弦曲线、 余弦曲线。 【师生活动】：师：说明基本思路； 温故知新： 1、作函数图像的方法：描点法、图像变换法 【设计意图】：复习前知，为新知作铺垫。 【师生活动】：师：提出问题；生：回答问题 2、单位圆中的三角函数线 复习单位圆中正弦线、余弦线、正切线的作法，并且强调三角函数线是有向线段。 【设计意图】：复习前知，为利用正弦线画正弦函数做准备。 【师生活动】：师：提出问题；生：回答问题。 3、如何画出正弦函数（y?sinx,x?R）、余弦函数（y?cosx,x?R）图像？ 提示：利用三角函数线 【设计意图】：对三角函数线的复习起前后呼应的效果。 2、给出思考： 通过上述实验，我们对正弦函数图像有了直观印象，那如何画出函数y=sinx ,x∈ [0,2π] 的图像呢？----描点法 先请同学们在直角坐标系中作点(,sin)？——粗略描点法和几何描点33法 【设计意图】：体会用学过的“粗略描点法”作图像的麻烦和不准确。 【师生活动】：师：提出“作函数图像的步骤是什么？”。 生：回答“列表、描点、连线”，并动手尝试。 3、画出函数y=sinx ,x∈ [0,2π] 图象（几何描点法）： 探究过程：（老师提示，学生分组讨论） （1）我们可以用单位圆中的三角函数线来刻画三角函数，那是否可以用它来帮助作三角函数图像呢？ ??【设计意图】：建立单位圆的三角函数线与三角函数图像之间的联系，引出利用正弦线作正弦函数图像的方法。 【师生活动】：师：讲解利用单位圆中的正弦线作正弦函数图像的方法。 生：思考如何得到图像上的一个点，即对于自变量x，如何利用正弦线确定它所对应的y的值？ （2）为什么要从单位圆与x轴交点A开始，将单位圆分成12等份？ 【设计意图】：使学生认识这样可以把正弦函数有代表性的取值都包括在内，以便较准确地做出图像，体会用学过的“描点法”作图像取点的技巧和合理性。 【师生活动】：师：指导学生思考。 生：讨论，分析各个角度正弦线的位置。 （3）如何利用正弦线描出正弦函数图像上的一些点呢？ 【设计意图】：进一步明确如何利用单位圆中的正弦线画正弦函数图像。 【师生活动】：师：注意引导学生分析图像上的点与单位圆中的圆心角及其对应的正弦线之间的关系。 生：思考如何利用正弦线描出图像。 （4）按照教科书叙述的步骤,描出12个点,做出函数y=sinx ,x∈ [0,2π] 的图像。 【设计意图】：培养学生的动手操作能力，形成对正弦函数图像感知。 【师生活动】：师：指导学生动手画图。生：动手画图。 P2P1y1P1’P2’y=sin x, x∈[0, 2π]?2O'M2M1O-1M1’M2’π3?22π x
作图过程：
（1）在直角坐标系的x轴上任意取一点O1，以O1为圆心作单位圆；
（2）从圆O1与x轴的交点A起把圆O1分成12等份（份数宜取6的倍数，份数
越多）画出的图象越精确）；
（3）再把x轴上从0到2?这一段（ ≈6.28）分成12等份；
???（4）过圆O1上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于0、、、、…、2?632等角的正弦线；
（5）把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合；
（6）再用光滑的曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到函数y=sinx ,x∈ [0,2π]的图象。
4、新知拓展：
如何做出函数y?sinx,x?R的图像？
因为终边相同的角有相同的三角函数值，三角函数值有周而复始的变化规律。所以函数y?sinx在x?[0,2?)的图象与函数y?sinx，
x?[2k?,2(k?1)?),(k?Z,k?0)的图象的形状完全一样，只是位置不同，于是只
要将它向左、右平行移动（每次2?个单位长度），就可以得到正弦函数
y?sinx,(x?R)的图象，即正弦曲线。
【设计意图】：引导学生利用诱导公式（一），只要将函数 y=sinx ,x∈ [0,2π]的图像左、右平移（每次2?个单位长度）就可以得到函数y=sinx ,x∈ R的图像。 【师生活动】：师：提示学生从诱导公式入手，进行思考。 生：思考问题，总结规律，动手画图。 5、课本探究： 你能根据诱导公式，以正弦函数的图像为基础，通过适当的图形变换得到余弦函数的图像吗？ ??由y?cosx?sin(x?)知，把正弦图像向左平移个单位即得余弦函数图22像。 探究：能否将正弦函数右移可以，由y?cosx?sin(x?3?个单位得到余弦函数图像呢？ 23?)可知。 2【设计意图】：使学生从函数解析式之间的关系思考函数图像之间的关系，进而学习通过图象变换画余弦函数图像的方法，让学生感受有了一个函数图像为基础时，可以通过图像变换得到另一函数的图像，降低作图的难度。 【师生活动】：师：引导学生思考。 生：利用诱导公式，回答两个函数之间的关系，再用坐标变换做出余弦函数图像。 6、课本思考： 在做出正弦函数y=sinx ,x∈ [0,2π]的图像时，应抓住哪些关键点？ ?3?五点作图法：(0,0)、(,1)、(?,0)、(,?1)、(2?,0) 22【设计意图】：从对图像的整体观察入手，引出“五点法”。 【师生活动】：师：提出问题。 生：通过观察图像，确定在[0,2π]上起关键作用的五个点，并通过描出五个点做图像。 7、课本探究： 类似于正弦函数图像的五个关键点，你能找出余弦函数图像的五个关键点吗？请将它们的坐标写出来，然后做出函数y=cosx ,x∈ [0,2π]的简图。 ?3?五点作图法：(0,1)、(,0)、(?,?1)、(,0)、(2?,1) 22
《正弦函数、余弦函数的图像》教案设计
