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授课时间： 年 月 日 课题 832圆的般方程 课型 新授 第几 课时 1 1.掌握圆的一般方程，能判断一个二元二次方程是否是圆的方程. 课 时 教 学 目 标 （三维） 2 ?能根据圆的一般方程求出圆心坐标和半径，会用待定系数法求圆的方程. 3?进一步培养学生数形结合的能力，综合应用知识解决问题的能力. 教学重点： 教学 重点 与 难点 圆的一般方程 教学难点： 二元二次方程与圆的一般方程的关系 教学 方这节课主要采用讲练结合的方法?首先由圆的标准方程展开得到圆的一般方程，然后讨论 一个二元二次方程法 与 满足什么样的条件才能表示圆?最后通过例题，让学生初步感悟待定系数法 和求曲线方程的一般步骤. 手段 使 用 教 材 的 构 想 第1页（总页）
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课时教学流程
☆补充设计☆
教师行为
引入；
学生行为
师：上节课我们学习了圆的标 准方程，请同学们回顾一下，圆心 坐标为(a,
设计意图 回顾上节所学 内容，为学习新知做 好准备.
1. 圆心为C(a, b)，半径为r(r > 0) 的圆
的标准方程是什么？
b),半径为r的圆的方程 是什么？
学生回答教师提出的问题.
学生口答，教师点评.
2. 回答下列冋题
(1)
点为圆心，半径为 圆的方程是 心坐标是
；
，半径是
.
以原
3的
教师类比直线方程提出问题.
(2) 圆(x— 1)2+ (y+ 2)2= 25 的圆
3. 直线方程有多种形式，圆的方程 是否还
有其他的形式？ 学生解决教师提出的问题，教 师点评.
使学生初步了 解圆的一般方程的 形式.
新课： 探究一
(1) 请将圆心在(a, b)半径为r的 圆的
标准方程展开；
(2) 展开后得到的方程有几个未 知数？
最高次是几次？这个方程是几 元几次方程？
(3) 如果令—2a= D, — 2b = E, a + b — r — F，这个方程疋什么形式？
(4) 任意一个圆的方程都可表示 为
2 2 2
师：在方程 x2 + y2 + Dx + Ey+ F — 0中D , E, F是常数吗？为什 么？
强调方程中D, E, F是常数.
x + y2+ Dx + Ey + F — 0
的形式吗？
学生回答教师提出的问题.
探究二
(1) 请举出几个形式为
加深对圆的一 般方程
形式的认识.
学生思考教师提出的问题. 师：将方程 x2 + y2 + 2x+ 2y+ 根据教师提示分组解答， 配方后方程分别为
2 2
x2 + y2+ Dx + Ey + F — 0
的方程；
(2) 你所举出的方程一定表示圆 吗？ 下述方程表示的是圆吗？
学生通过举例 验
8 — 0配方，你能得到怎样的方程？ 学生证引出问题(2).
x2+ y2 + 2x+ 2y+ 8— 0,
2 2
x + y + 2x+ 2y+ 2— 0, x + y + 2x+ 2y— 0.
2 2 22
(x+ 1) + (y+1) —— 6, (x+ 1) +
(y+1) — 0, (x+ 1)2 + (y+1)2—2. 学生猜想.
探究三
让学生主动猜
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满足怎样的条件时，方程 想. x2+ y2 + Dx + Ey + F= 0 ① 表示圆？ 将方程配方，得 2 D 教师强调配方法的应用，引导 学生解答. 师：将方程②同圆的标准方程 比较，如果方程②表示圆，必须满 足怎样的条件？ 强调配方法在 解决二次问题中的 应用. E 2 D2+ E2 — 4F 2(x+刃 1 (y 1(1) 当D+ E— 4F>0时，方程① 表示以(一 2，一 2)为圆心，且半径为 2) = 4 .② 2此时圆的圆心坐标是多少？圆 的半径呢？ 学生回答，教师点评. 师：由以上探究可知，只有当 类比圆的标准 方程，探究方程二元 二次方程表示圆的 条件. —4F的圆； 22当D+ E— 4F = 0时，方程 (2) ①表示点-D, - ); 22当D+ E— 4F<0时，方程① (3) 不表示任何图形. (ED2+ E2— 4F>0 时，方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 才表示一个圆. 圆的 「般方程 当D2 + E2— 4F>0时，方程 + y2+ Dx + Ey+ F = 0 2 x 叫做圆的一 般方程. 师：圆的标准方程指明了圆的 圆心和半径，圆的一般方程表明了 圆的方程形式是二兀二次方程. 练习一 求出下列圆的圆心及半径： (1) x + y— 6x= 0; (2) 2 2 22 学生练习，教师巡视时应当引 导学生用配方法求解. x + y — 4x— 6y + 12= 0. 师：确定一个圆的标准方程需 强调圆的标准 方程和一般方程的 特点. 例1 求过点 0(0, 0), M(1, 1), 要知道哪几个值？要确定圆的一般 方程呢？ 学生回答. N(4, 2)的圆的方程，并求出这个圆的半 径和圆心坐标. 解：设所求圆的方程为 2 2 2 x + y2 + Dx + Ey + F= 0, 其中D, E, F待定. 师：先设所求方程为 2 2 x + y + Dx + Ey + F = 0. 师：根据圆经过三个点，这三 个点的坐标应满足方程，所以我们 会得到一个三兀一次方程组. 由题意得 'F = 0 让学生了解待 定系法求圆的方程 的一般步骤. D+ E + F + 2 = 0 4D + 2E+ F + 20= 0 解得 教师引导学生解方程组. D = =—8, E = 6, F = 0. 于是所求圆的方程为 师：求出D , E, F的值，所求 圆的方程也就确定了. x2 + y2 — 8x+ 6y = 0. 将这个方程配方，得 2 2 师：像这种求圆的一般方程的 方法叫待定系数法.
(x— 4) + (y+ 3) = 25 . 所以所求圆的圆心坐标是(4, — 3), 师：类似前面的讨论，我们可 以用配方法表示出圆的标准方程， 太原市教研科研中心研制
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半径为5.
然后写出圆心坐标及半径.
练习二
求经过三点(0，0)，(3, 2)，(-4,
学生练习，教师巡视.
0)的圆的方程.
例2
已知一曲线是与两个定点
师：请同学们回顾一下推导圆 的标准方程时的过程.
学生看书回顾，教师指明推导 标准方程的主要步骤.
个曲线的方程.
解在给定的坐标系中，设 M(x, y)是曲线上的任意一点， 点M在曲线上 的充要条件是
件.
师：设动点，写出动点 M满足 的条
类比推导圆的 标准方程的步骤，让 学生初步感悟求曲 线方程的一般步骤 和方法.
1
0(0, 0), A(3, 0)距离比为2的点轨迹， 求这
|OM|_ 1 |AM| 2°
由两点间的距离公式，上式可用坐 标表示为
卫 x+ y
2
2
师：用点的坐标表示 M满足的 几何
_i
2
条件.
7(x
— 3)+ y _
2
2，
两边平方并化简，得曲线方程
X2 + y2+ 2x— 3= 0.
将方程配方，得
2 2
师：化简方程.
(x+1) + y = 4.
所以所求曲线是以 心，半径为2的圆.
C( — 1, 0)为圆
教师演示所得图形曲线.
练习三
求与两定点 A(— 1, 2), B(3, 2)的 距离比为(2的点的轨迹方程.
小结；
学生在教师的引导下回顾本节 主要内容.
2
学生练习，教师巡视.
强化训练. 简洁明了概括 本节课的重要知识， 学生易于理解记忆.
1?圆的一般方程是
2 2
x + y + Dx + Ey + F= 0, 其中 D+
E2— 4F>0.
2?待定系数法求圆的一般方程. 课时教学设计尾页（试用）
☆补充设计☆ 板书设计
1 ?圆的一般方程是
x2 + y2 + Dx + Ey+ F = 0, 其中 D2+ E2— 4F>0 ? 2 ?待定系数法求圆的一般方程.
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作业设计
练习B组第2题（选做）
教学后记
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太原市教研科研中心研制教材P96练习A组第1, 2题. 教材P96
中职数学基础模块8.3.2圆的一般方程教学设计教案人教版
