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高二第二学期期末考试 数学试题（文科）
一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1.若复数z?(x2?1)?(x?1)i为纯虚数，则实数x的值为（ ） A．-1 B．0 C．1 D．-1或1 2.已知集合A?{xlg(x?1)?0}，B?{x?1?x?3}，则AB?（ ） A．[?1,3] B．[?1,2] C．(1,3] D．(1,2] 3.在△ABC中，“A?B”是“sinA?sinB”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 4.设?x?表示不超过x的最大整数，对任意实数x，下面式子正确的是（ ） A． ?x?= |x| B．?x?≥x2 C．?x?>-x D．?x?> x?1
5.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为( )
A．2 B．4?22 C.4?42 D．4?62 6. 某程序框图如图所示，若a?3，则该程序运行后，输出的x的值为（ ）
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A. 33 B．31 C．29 D．27 7．命题p：若1?y?x，0?a?1，则
11q1?y?x，a?0，则xa?ya．在命题?xy，命题：若aa①p且q②p或q③非p④非q中，真命题是（ ）． A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
8.设函数f(x)?x(x?k)(x?2k)(x?3k)，且f?(0)?6，则k?（ ） A． 0 B．-1 C．3 D．-6
9.若两个正实数x,y满足14yx?y?1，且不等式x?4?m2?3m 有解，则实数m的取值范围是（Ａ．(?4,1) Ｂ．(?1,4) Ｃ．(??,?1)?(4,??) D．(??,0)?(3,??)
?logf(x)?2x,x?010．已知函数??log(?x),x?0,若af(?a)?0,则实数a的取值范围是（ ）
??12A.(?1,0)?(0,1) B.(??,?1)?(1,??) C.(?1,0)?(1,??) D.(??,?1)?(0,1)
11.已知定义在R上的函数y?f?x?对任意x都满足f?x?1???f?x?，且当0?x?1时， f?x??x，则函数g?x??f?x??ln|x|的零点个数为( ) A．2 B．3 C.4 D．5
12．定义在R上的函数y?f(x)，满足f(3?x)?f(x)，(x?32)f'(x)?0，若x1?x2， 且x1?x2?3，则有( )
A.f(x1)?f(x2) B.f(x1)?f(x2) C.f(x1)?f(x2) D.不确定 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分.）
13.函数y?f(x)的定义域为(??，1]，则函数y?f[log2(x2?2)]的定义域是__
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）
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14.数列?an?的前n项和Sn，若an?43561，则S5?_________.
n(n?1) 15.已知向量a?(2sin?,cos?)，b??k,1?.若a//b，则k? ．
16.定义在(??,0)(0,??)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“等比函数”.现有定义在(??,0)(0,??)上的如下函数：①f(x)?2x；②f(x)?log2x；③f(x)?x2；④f(x)?ln2x，则其中是 “等比函数”的f(x)的序号为 三、解答题 （共6小题，共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） 17.（12分）已知函数f(x)?2cos2x?sin2x. （1）求函数f(x)的最小正周期和值域；
A（2）已知?ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a?2,b?2，且f()?1，
2 求?ABC的面积
18.（12分）如图，已知三棱锥A?BPC中，AP?PC,AC?BC，M为AB中点，D为PB中点，且?PMB为正三角形.
（1）求证：平面ABC?平面APC；
（2）若BC?4,AB?20，求三棱锥D?BCM的体积.
19.(本小题满分12分)
袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.
(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率； (Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片
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颜色不同且标号之和小于4的概率.
x2y2520.（12分）已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，定点M(2,0)，椭圆短轴的端点
3ab是B1,B2，且MB1?MB2. （1）求椭圆C的方程；
（2）设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A,B两点，试问x轴上是否存在异于M 的定点P，使PM平分?APB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
21.（12分）已知m?R，函数f(x)?mx?（1）求g(x)的最小值；
（2）若y?f(x)?g(x)在[1,??)上为单调增函数，求实数m的取值范围；
m?11?lnx，g(x)??lnx xxln2ln3ln4（3）证明：???234lnnn2（n?N*） ??n2(n?1)选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题计分.作答时请写清题号．
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
?x?tcos?在直角坐标系xOy中，曲线C1:?，（t为参数，且t?0），其中0????，在以O为极
y?tsin??点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2:??2sin?,C3:??23cos?. （1）求C2与C3交点的直角坐标；
（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求AB最大值.
23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
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已知函数f(x)?2x?a?2x?3,g(x)?x?1?2. (Ⅰ)解不等式：g(x)?5；
(Ⅱ)若对任意的x1?R，都有x2?R，使得f(x1)?g(x2)成立，求实数a的取值范围.
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2024-2024学年度高二第二学期期末考试
数学试题（文科）答案
一、
选择题：
ADCDC,BCBCA,,BB 二、填空题 13.
?2,2??2,?2 14.
???5 15. 2 16.（3）（4） 6三．解答
17.（1）f(x)?2cos2x?sin2x
?1?cos2x?sin2x ?2cos(2x?)?1
4所以函数f(x)的最小正周期T??2???，值域为[?2?1,2?1] 2
∵a?2,b?2，由正弦定理得 ∴
2sin?4?12，∴sinB?.
2sinB∵a?b，∴A?B ∴B??6，∴C???A?B?7? 12//
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∴S?ABC?117?2?61?3 absinC??2?2sin?2??22124218.证明：
（1）由已知得， MD是?ABP的中位线， ∴MD//AP，∵MD?面APC，AP?面APC ∴MD//面APC；
（2）∵?PMB为正三角形，D为PB的中点， ∴MD?PB,∴AP?PB，又∵AP?PC，PB∴AP?面PBC，∵BC?面PBC，∴AP?BC 又∵BC?AC,ACAP?A，∴BC?面APC，
PC?P,
∵BC?面ABC，∴平面ABC?平面APC，
（3）由题意可知，三棱锥A?BPC中，AP?PC,AC?BC，M为AB中点，D为PB中点，且?PMB为正三角形.
MD?面PBC，BC?4,AB?20,MB?10,DM?53,PB?10,PC?100?16?221, 11∴MD是三棱锥D?BCM的高，S?BCD??4?221??221, 2211∴VM?DBC?Sh??53?221?107 33
19、（本小题满分12分）
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解：(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红
1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2………………………..2
分
其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为
P?3………………..6分 10(II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为
P?8………………………………………….. 12分 1520.解：
b25a2?b2a22? ?1?（1）由?e?，得
9a2b2a3又MB1?MB2，知?MB1B2是等腰直角三角形，从而b?2,a?3，
x2y2?1. 所以椭圆C的方程是?94（2）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线AB的方程为x?my?2
?x?my?2?由?x2y2得(4m2?9)y2?16my?20?0,
?1??4?9所以y1?y2??16m?20yy? ①，② 12224m?94m?9若PM平分?APB，则直线PA,PB的倾斜角互补， 所以kPA?kPB?0, 设P(n,0)，则有
y1y2??0， x1?nx2?n将x1?my1?2，x2?my2?2代入上式，整理得2my1y2?(2?n)(y1?y2)?0，
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将①②代入得(?2n?9)m?0，由于上式对任意实数都成立，所以n?9. 29综上，存在定点P(,0)，使平分PM平分?APB.
221.（1）函数g(x)的定义域为(0,??)，g'(x)??11x?1??2. 2xxx当x?(0,1)，g'(x)?0，当x?(1,??)，g'(x)?0，∴x?1为极小值点，极小值g(1)?1. （2）∵y?mx?m?11m??2lnx?mx??2lnx. xxx∴y'?m?m22x??0m?在上恒成立，即在x?[1,??)上恒成立. [1,??)22xxx?1又
2x2??1，所以m?1，所以，所求实数m的取值范围为[1,??). x2?1x?1x1（3）由（2），取m?1，设h(x)?f(x)?g(x)?x??2lnx?h(1)?0，
x则2lnx?x?∴
ln1ln2ln3???123?lnn1111?[n?(2?2?3?n2123?11111)]?[n?(???n221?22?33?4?1)]n(n?1)1lnx11lnn11?(1?2)，于是?(1?2)(n?N*). ，即
xx2xn2n1111?[n?(1????2223ln2ln3ln4所以???2341111n2. ??)]?(n?1?)?nn?12n?12(n?1)lnnn2(x?N*). ??n2(n?1)22. （1）曲线C2的直角坐标方程x2?y2?2y?0，曲线C3的直角坐标方程为x2?y2?23x?0，联立两方程解得，
?x??x?0??或??y?0??y???32，所以C与C交点的直角坐标(0,0)，(3,3).
232232//
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（2）曲线C1极坐标方程为???(??R,??0)，其中0????，因此点A的极坐标为
(2sin?,?)，点B的极坐标为(23cos?,?)，
5??所以AB?2sin??23cos??4sin(??)，当??时AB取得最大值，最大值为4.
3623．（本小题满分10分）
解：(Ⅰ)由x?1?2?5得?5?x?1?2?5
??7?x?1?3 得不等式的解为?2?x?4……………………5分 (Ⅱ)因为任意x1?R，都有x2?R，使得f(x1)?g(x2)成立， 所以{y|y?f(x)}?{y|y?g(x)}，
又f(x)?2x?a?2x?3?|(2x?a)?(2x?3)|?|a?3|，
g(x)?|x?1|?2?2，所以|a?3|?2，解得a??1或a??5，
所以实数a的取值范围为a??1或a??5.……………………10分
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2024-2024学年陕西省西安市长安区高二下学期期末考试数学（文）试题word版有答案（已审阅）
