x2?7x?10(x??1)的值域。 16、（耐克函数型）求y?x?1
注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f(x)?x?a的单调性。 x17、（用耐克函数单调性）求函数y?x2?5x2?4的值域。
18、（条件不等式）
1）若实数满足a?b?2，则3a?3b的最小值是 . 2）已知x?0,y?0，且
1x?9y?1，求x?y的最小值。 2
3）已知x，y为正实数，且x 2＋
y2
＝1，求x1＋y 2 的最大值.
4）已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝1
ab 的最小值.
题型六：利用基本不等式证明不等式
19、已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2?b2?c2?ab?bc?ca
20、正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc
21、已知a、b、c?R?，且a?b?c?1。求证：??1?a?1????1??b?1????1??c?1????8
题型七：均值定理实际应用问题：
22、某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m2的三级污水处理池（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，
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池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。
四、线性规划
题型八：目标函数求最值
?2x?y?3?0?23、满足不等式组?7x?y?8?0，求目标函数k?3x?y的最大值
?x,y?0?
24、已知实系数一元二次方程x?(1?a)x?a?b?1?0的两个实根为x1、x2,并且
20?x1?2,x2?2．则
b的取值范围是 a?1
?x?0?25、已知x,y满足约束条件：?3x?4y?4 ,则x2?y2?2x的最小值是
?y?0?
?x?2y?3?0?26、已知变量x,y满足约束条件?x?3y?3?0.若目标函数z?ax?y（其中a>0）仅在点
?y?1?0?（3，0）处取得最大值，则a的取值范围为 。
?y?1，?27、已知实数x，y满足?y?2x?1，如果目标函数z?x?y的最小值为?1，则实数m等于
?x?y?m．?题型九：实际问题
28、某饼店制作的豆沙月饼每个成本35元，售价50元；凤梨月饼每个成本20元，售价30元。现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过10个，售价不超过350元，问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个，可使利润最大？又利润最大为多少？
不等式的基本知识参考答案
高中数学必修内容练习---不等式
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1、②③⑥⑦⑧； 2、
p?q；
3、当0? 当1? 当xx?1或x?4时，1+logx3＞2logx2； 3x?4时，1+logx3＜2logx2； 34时，1+logx3＝2logx2 34、∵a?b?1 ∴
1lga?0,lgb?0Q?（lga?lgb)?lga?lgb?p
2a?b1R?lg()?lgab?lgab?Q ∴R>Q>P。
22?5、6、{x|
x?1或x??2}；
7、(?1,1)U(2,3)）；
?bx?12?0的解集为{x|-1＜x＜2}，则a=___-6____, b=__6_____ 9、(??,?1)?(2,??)）.
8、不等式ax10、解：当a＝0时，不等式的解集为xx?1； 当a≠0时，a(x－
2??2分
11)(x－1)＜0；当a＜0时，原不等式等价于(x－)(x－1)＞0
aa1??不等式的解集为?xx?1或x??； ....................................................................................................... 6分
a??11??，不等式的解集为?x1?x??； ..................................................................... 8分
a?a?1?1?当a＞1时，＜1，不等式的解集为?x?x?1?； .......................................................................... 10分
a?a?当0＜a＜1时，1＜
当a＝1时，不等式的解为φ． .................................................................................................................... 12分 11、0≤x＜4 12、m??13、m?1） 2???,16?
1
3x 2· 2 ＝6 ∴值域为[6 ，+∞）
2x
111
x· ＝2；当x＜0时， y＝x＋ = －（－ x－ ）≤－2xxx
1
x· =－2 x
1
14、解：1）y＝3x 2＋ 2 ≥2
2x1
2）当x＞0时，y＝x＋ ≥2
x
∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 15、1）解Qx?当且仅当5?4x2）当
，即x＝2时取等号 当x＝2时，
511??,?5?4x?0，?y?4x?2????5?4x???3??2?3?1 44x?55?4x???1，即x?1时，上式等号成立，故当x?1时，ymax?1。
5?4x
y?x(8?2x)的最大值为8。
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16、解析一：
当
,即
时,
y?2（x?1)?4?5?9（当且仅当x＝1时取“＝”号）。 x?1解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。
(t?1)2?7(t?1）+10t2?5t?44y?=?t??5
ttt4当,即t=时,y?2t??5?9（当t=2即x＝1时取“＝”号）。
t17、解：令2x2?4?t(t?2)，则y?x?5?x2?4?x2?41?t?(t?2)
tx2?4111?0,t??1，但t?解得t??1不在区间?2,???，故等号不成立，考虑单调性。
tt15因为y?t?在区间?1,???单调递增，所以在其子区间?2,???为单调递增函数，故y?。
2t因t所以，所求函数的值域为18、（条件不等式） 1）解： 当3a?5?,???。 ??2?3a和3b都是正数，3a?3b≥23a?3b?23a?b?6
?3b时等号成立，由a?b?2及3a?3b得a?b?1即当a?b?1时，3a?3b的最小值是6．
?19?y9x19x?0,y?0,??1，?x?y??x?y???????10?6?10?16
xy?xy?xy2）解：Q当且仅当
19y9x?1，可得x?4,y?12时，?x?y?min?16 ?时，上式等号成立，又?xyxy1＋y 2
＝x
1＋y 21y 22· ＝2 x· ＋
222
3）解：x下面将x，1y 2 ＋ 分别看成两个因式： 22x 2＋(
1y 22y 21 2 ＋ )x＋ ＋ 22223
＝ ＝ 即x224
x·1y 2 ＋ ≤22
1＋y 2 ＝2 ·x
1y 23
＋ ≤ 224
2
30－2b30－2b－2 b 2＋30b
4）解：法一：a＝ ， ab＝ ·b＝
b＋1b＋1b＋1由a＞0得，0＜b＜15
－2t 2＋34t－311616
令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝ ＝－2（t＋ ）＋34∵t＋ ≥2
ttt
1
∴ ab≤18 ∴ y≥ 当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。
18
16t· ＝8 t
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法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥22 ab ∴ 30－ab≥22 ab 令u＝ab 则u2＋22 u－30≤0， －52 ≤u≤32
1
∴ab ≤32 ，ab≤18，∴y≥
1819、已知
a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2?b2?c2?ab?bc?ca
?1??1??1??1???1???1??8 a???b??c?。同理
20、正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc 21、已知a、b、c?R，且a?b?c?1。求证：??证明：Qa、b、c?R，
?a?b?c?1。?11?ab?c2bc?1???aaaa12ac?1?bb，
12ab。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得 ?1?cc1?1??1??1?2bc2ac2ab。当且仅当时取等号。 a?b?c??1?1?1?gg?8??????3abcabc??????22、解：若设污水池长为x米，则宽为 水池外圈周壁长： 中间隔墙长：
（米）
（米）
（米）
池底面积：200（米2） 目标函数：
≥
23、4 24、 25、1 26、(1(?3,?)
2
1,??) 227、5
28、解：设一盒內放入x个豆沙月饼，y个凤梨月饼，利润为z元
则x，y必须满足 目标函数为z＝15x＋10y
，
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不等式知识点总结及题型归纳
