不等式知识点总结及题型归纳
一、解不等式
1、一元二次不等式的解法
一元二次不等式ax?bx?c?0或ax?bx?c?0?a?0?的解集：
222设相应的一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?的两根为x1、x2且x1?x2，??b?4ac，则
2不等式的解的各种情况如下表： 二次函数 ??0 ??0 ??0 y?ax2?bx?c y?ax2?bx?c y?ax2?bx?c y?ax2?bx?c （a?0）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 ax2?bx?c?0?a?0?的根ax2?bx?c?0(a?0)的解集ax2?bx?c?0(a?0)的解集x1,x2(x1?x2) x1?x2??b 2a ?xx?x或x?x? 12?b?xx???? 2a?? ? R ?xx1?x?x2? ? 2、简单的一元高次不等式的解法： 标根法：其步骤是：
1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；
2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；
3）根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。如：?x?1??x?1??x?2??0
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3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。
f(x)?0?f(x)g(x)?0;g(x)?f(x)g(x)?0f(x)?0??
g(x)?0g(x)?4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式f?x??A在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f?x?min?A
若不等式f?x??B在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f?x?max?B
二、线性规划
1、用二元一次不等式（组）表示平面区域
二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点） 3、线性规划的有关概念：
①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件． ②线性目标函数：
关于x、y的一次式z=ax+by是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标
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函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤： 1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数； 2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
3）依据线性目标函数作参照直线ax+by＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解.
三、基本不等式ab?a?b 21、若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号. 2、如果a,b是正数，那么
a?b?ab(当且仅当a?b时取\?\号). 22?a?b?变形： 有:a+b≥2ab；ab≤??,当且仅当a=b时取等号.
?2?3、如果a,b∈R+,a·b=P(定值),当且仅当a=b时,a+b有最小值2P;
S2如果a,b∈R+,且a+b=S(定值),当且仅当a=b时,ab有最大值.
4注：
1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． 2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 4、常用不等式有：
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