Helmholtz方程的指数函数法多波解

Helmholtz方程的指数函数法多波解

纪娟娟1，2，郭业才3，张兰芳2

【摘 要】在线性近似下，Helmholtz方程能够描述小尺度大气声波波动.因此分析小规模大气声波波动特性，必须对Helmholtz方程进行求解.大多数求解Helmholtz方程的方法是在某些边界条件和初始条件下进行的，而边界条件和初始条件本身就是在假设、近似的基础上得到的，且会使得计算过程复杂和计算量变大.指数函数法具有多个自由参数是求解非线性问题精确解的一种十分有效、直接的工具，且在求解时不要考虑边界条件和初始条件，对函数进行指数和双曲正切变换的共同作用可近似为线性变换.基于上述思想，本文首先对Helmholtz方程进行反正切变换，将其转化为非线性方程，其次进行单波解、双波解和三波解的假设并对其进行了求解，最后，利用次声波和可听声波对单波，双波和三波解进行了3维空间和2维平面的数值模拟.结果表明，求解方法简单、直观，且在线性近似下，不同频率的声波具有不同的传播特性，双波、三波沿着各自的方向传播，互不干扰. 【期刊名称】四川大学学报（自然科学版） 【年(卷),期】2015(052)005 【总页数】8

【关键词】Helmholtz方程；指数函数法；多波解；数值模拟；大气声学

0 引 言

Helmholtz方程是描述多种物理现象最重要的方程之一.大气声波传播中小尺度的波动可以用线性声学理论描述.在线性声学的范围，声场满足Helmholtz方程［1］，它是对运动方程、连续性方程和能量方程线性化后，进行Fourier空

间变换得到的.

Helmholtz方程是分析多种线性声学的基本工具.大气声学中许多的基本问题可归结为，在某种特定的情况下求解Helmholtz方程.目前，对Helmholtz方程进行求解的方法主要有：插值和未知增量法［2］，离散最小次网格有限差分法［3］，离散富集法［4］，边界元-有限元耦合法［5］，Galerkin有限元法［6］，变分迭代法［7］，同伦分析法［8］，快速多级边界元法［9］、Herglotz波函数法［10］等，而采用这些方法求解Helmholtz方程是在某些边界条件和初值下进行的，而边界条件和初始条件本身就是在假设、近似的基础上得到的，且会使得计算过程复杂和计算量增大.

指数函数法是2006年由何吉欢和吴［11］提出的，它是一种简单、直观，通过MATLAB或MATHEMATICA等相关软件的辅助，能够求得多种非线性问题的精确解的方法，文献 ［12］利用指数函数

法得到了Riccati方程的精确解；文献 ［13］通过指数函数法求得了广义Zakharov方程的精确解；文献 ［14］在推导一类辅助常微分方程的指数函数解法的基础上，对经典的KdV方程、（3+1）维Jimbo-Miwa方程和Benjamin-Bona-Mahony方程进行了求解；文献 ［15］借助指数函数法解得了Burgers-Fisher方程的精确解；文献 ［16］利用指数函数法求得了Zoomeron方程和Burgers方程的行波解；文献 ［17］利用Ma-ple包对修正等宽方程，Dodd-Bullough-Mikhail方程和 （3+1）维 Kadomstev-Petviashvili方程进行了指数函数法的精确解求解；文献 ［18-20］利用指数函数法分别求得了 （2+1）维vcBK系统、KP方程和变系数KdV方程的多波解.由于指数函数法具有多个自由参数是求解非线性问题精确解的一种十分有效且

直接的工具，且在求解时不要考虑边界条件和初始条件，对函数进行指数和双曲正切变换的共同作用可近似为线性变换.因此，本文首先进行反正切变换，然后利用指数函数法对Helmholtz方程进行了多波解的求解.

1 指数函数法的基本思想

对于偏微分方程

式中，F是关于u和u的各阶导数的多项式，一般可以利用某种变换得到该方程.

首先假设式 （1）具有如下形式解的单波解

式中，ai1，bj1是待定的未知常数，ω1是任意常数.p1和q1通过平衡式 （1）的强非线性项和最高阶导数项来确定. 构造式 （1）的双波解为

则可构造式 （1）的N（N ＞1）波解为

式中，ξg=kgx+cgy+ωg ，ai1 i2…i N 和bj1 j2…j N 是待定的未知常数，ωg是任意常数，p1，p2，…，pN，q1，q2，… ，qN是正整数，通过平衡式 （1）的强非线性项和最高阶导数项来确定.

将式 （4）代入式 （1），令指数函数的相同次幂的系数等于0，可得到一个方程组，对这个方程组进行求解，便可得到式 （1）的单波解、双波解、三波解以及N波解.

2 Helmholtz方程的指数函数法多波解

在无限的或有限的声域内，简谐声波在均匀各向同性大气中传播的控制方程为Helmholtz方程，即

式中，u为声压，k=ω／c，ω为角频率，c为传播介质中的声波波速.

在二维情况下，式 （5）变为

指数函数法主要是用于非线性方程的求解，而Helmholtz方程是线性方程.现在考察函数u=arctan（e x）的特性，取x ∈ ［-1，1］，则u=arctan（e x）的曲线如图1所示.

图1表明，在x∈［-1，1］区间内u与x近似为线性关系.

因此对函数u=arctan（e x）可以理解为经过反正切变换和指数函数表示后几乎不改变其函数原有的关系特性.基于此思想，本文在利用指数函数方法前，先对声压进行反正切变换，将Helmholtz方程转换为非线性方程，再对该非线性方程进行指数函数法的多波解求解. 首先，进行反正切变换，即 则式 （6）变为

式 （8）表明，经反正切变换后线性Helmholtz方程变为一个关于v和v的各阶导数的非线性方程.

2.1 假设式 （8）具有如下形式的单波解

且η1=k1x+l1y+ω1，其中a1、b1、k1和l1是待定常数，ω1为任意常数. 将式 （9）代入式 （8），利用 MATLAB软件，可得 式中，

令eiη的系数等于0，即 解方程 （16）可得 因此式 （6）的单波解为 式中，和ω1是任意常数.

2.2 假设式 （8）具有如下形式的双波解

式中，η1=k1x+l1y+ω1，η2=k2x+l2y+ω2，a11、a12、b11、k1、l1、k2和l2为待定常数，ω1和ω2为任意常数.

将式 （19）代入式 （8），利用 MATLAB软件，可得 式中，

令eiη1+jη2（i，j=1，2，3，4）的系数等于0，即 解方程 （33）得 式中，

因此得到式 （6）的双波解

式中为任意常数，A12由式 （35）确定. 2.3 假设式 （8）具有如下形式的三波解

式中，η1=k1x+l1y+ω1，η2=k2x+l2y+ω2，η3=k3x+l3y+ω3，a11 ，a12 ，a13 ，a111 ，b12 ，b13，b23 ，k1，l1，k2，l2，k3 和l3为待定常数，ω1，ω2和ω3为任意常数. 按照前文类似的方法，可得 式中，

由式 （37）- （40），可得式 （6）的三波解为

式中a11，a12 ，a13，k1，k2，k3，ω1，ω2，ω3 为任意常数，A12，A13，A23由式 （40）确定.

按照类似的方法可得到Helmholtz方程的N波解.

3 数值模拟

为了研究Helmholtz方程的多波解特性，选取不同频率的声波进行数值模拟，模拟条件为均匀各向同性的理想大气环境.