1 / 6
第十一讲 菱形性质与判定培优竞赛辅导
一、 知识梳理
1、菱形的定义：__________________的平行四边形叫做菱形．
2、菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它具有四边形和平行四边形的______：
还具有自己独特的性质 ? 菱形的四条边 ______ ；
? 菱形的对角线 ，
并且每一条对角线平分 ；
菱形的面积S菱形=底边长×高=_________________ 。
注意：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于_______________。
? 菱形既是_____图形（两条对称轴分别是 ），也是_______对称图形； 3、菱形的判定： ? 一组邻边相等的______ 是菱形；
? 四条边______的 是菱形；
? 对角线 的平行四边形是菱形．
基础巩固
1、已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数之比为1∶2，则较长对角线的长为______cm． 2、菱形ABCD中，∠A∶∠B＝1∶5，若周长为8cm，则此菱形的高等于_____.
3、已知□ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添 ，使□ABCD成为一个菱形．
2
4、如果菱形的两条对角线的长为a和b，且a，b满足（a﹣1）+
=0，那么菱形的面积等于 _______ ．
5、如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC=10，BD=24，AE⊥BC于E，则AE的长是 _________ ．
CD上的点，6、如图已知菱形ABCD中，若AE?AF?EF?AB，求?C的度数____ ． E、F分别是BC、
7、如图，在菱形ABCD中，E是AB边上一点，且∠A=∠EDF=60°，有下列结论：①AE=BF；②△DEF是等边三角形；③△BEF是等腰三角形；④∠ADE=∠BEF，其中结论正确的个数是____ ．
ABECFD
5题图 6题图 7题图 8题图 9题图
8、如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=120°，点E是AB的中点，点F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值是 ．
9、将两张长为8,宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的
周长有最小值________，菱形周长的最大值是_________．
2 / 6
二、经典例题《菱形的性质与应用》
【 例1】如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝4．
求：(1)∠ABC的度数；(2)菱形ABCD的面积．
【变式题组】
如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE＋CF＝2． (1)求证：△BDE≌△BCF；
(2)判断△BEF的形状，并说明理由； (3)设△BEF的面积为S，求S的取值范围．
《菱形的 判定与应用》
【例2】如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．
(1)求证：四边形AECD是菱形；
(2)若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．
3 / 6
【变式题组】如图，在四边形ABCD中 ，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N． 若∠BAD＝∠BCD，AM＝AN，求证四边形ABCD是菱形．
【例3】已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC，交AD于M，EF⊥BC于F． 求证：四边形AEFM是菱形．
【变式题组】如图，矩形ABCD中，AC＝2AB，O为AC的中点，延长AB到E，使BE＝AB，连接EO并延长交BC于F，交AD于M．试问：四边形AFCM是什么四边形，并说明理由．
A
O B
F
M D
C
E
4 / 6
【综合提升】1、已知：如图，□ABCD中，AD＝2AB，将CD向两边分别延长到E，F使CD＝CE＝DF,
求证：AE⊥BF
2、如图，□ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝5．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕 点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．
(1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形； (2)试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
(3)在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能，请说明理由；如果能，画出图形并写出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．
3、已知如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，AE＞DE，BE＝BC，点O是线段CE的中点．
⑴试说明CE平分∠BED；⑵若AB＝3，BC＝5，求BO的长；
⑶在直线AD上是否存在点F，使得以B、C、E、F为顶点的四边形是菱形？如果存在，试画出点F的位置，并作适当的说明；如果不存在，请说明理由．
E
D
O
B
C
A
5 / 6
培优竞赛例题【例1】如图所示，在Rt?ABC中，?ABC?90?，将Rt?ABC绕点C顺时针方向旋转60?得到?DEC点E在AC上，再将Rt?ABC沿着AB所在直线翻转180?得到?ABF连接AD． ⑴ 求证：四边形AFCD是菱形；
⑵ 连接BE并延长交AD于G连接CG，请问：四边形ABCG是什么特殊平行四边形？为什么？
FAGDEBC【例2】如图，矩形ABCD中，AD?2AB，E是AD边上一点，AD=nDE （n为大于2的整数），连接BE，作BE的垂直平分线分别交AD、BC于点F，G，FG与BE的交点为O，连接BF和EG.（1）试判断四边形BFEG的形状，并说明理由； （2）当AB=12，n=4时，求BE,EF的长；
（3）记四边形BFEG的面积为S1，矩形ABCD的面积为S2， 当S1: S2=25:48时，求n的值.（直接写出结果，不必写出解答过程）
6 / 6
培优升级 奥赛检测
1、如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为________．
2、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边
AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是________ ．
3、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△
AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN，连接A'C,则A'C长度的最小值是_______.
4、已如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1cm，一只电子甲虫，从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2022cm时停下，则它停的位置是______.
1题图 2题图 3题图 4题图 5题图
5、如图菱形AB1C1D1的边长为1，∠B1＝60°；作AD2⊥B1C1于点D2，以AD2为一边，作
第二个菱形AB2C2D2使∠B2＝60°；作AD3⊥B2C2于点D3，以AD3为一边，作第三个菱形AB3C3D3，使∠B3＝60°；……依此类推，这样作的第n个菱形ABnCnDn的边ADn的长是______ ．
6、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=53，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF. （1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由. （3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.
第十一讲 培优竞赛 菱形性质与判定培优竞赛辅导
